Besoin d'aide pour deux intégrales

[invited7624597]

Bonjour (et bonne année),
Pourriez-vous m'aider pour ces deux intégrales ?

1) (1+exp(x))^-1 de 1 à 4 (réponse : 2 e²)
2) exp(x^(1/2)) de 0 à 2 (réponse : 2 + Ln(2) - Ln(1+e²))

J'ai essayé par parties de différentes façons, mais je complique plus qu'autre chose.

J'ai les réponses, mais j'aimerai connaître le chemin qui permet d'y arriver. Merci d'avance pour votre aide.
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[Médiat]

1) (1+exp(x))^-1 de 1 à 4 (réponse : 2 e²)
2) exp(x^(1/2)) de 0 à 2 (réponse : 2 + Ln(2) - Ln(1+e²))

1) multiplie numérateur et dénominateur par e^-x
2) il y a un changement de variable évident : x = u²

Es-tu sur des bornes et des réponses (une inversion, par exemple) ?

[invited7624597]

Merci pour ton aide, je vais y travailler.
J'ai inversé les bornes en recopiant, les bornes du n°1 sont en fait celles du n°2
En faisant, le changement d'énoncé, les réponses sont bonnes (cf Mathematica)

[invited7624597]

Les réponses ont également été inversées...

J'ai pu résoudre la 2)
Pour la 1), je n'ai pas encore fait ce genre de substitution. Ca coince un peu. J'y retourne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7624597]

C'est bon, j'y suis arrivé. Merci beaucoup pour l'aide.

[invitece2661ac]

Bonjour:

pour 1- integ((1+exp(x))^-1.dx =integ(1/(1+exp(x)).dx
=integ((1+exp(x)-exp(x))./(1+exp(x)).dx
=integ[1-(exp(x)./(1+exp(x))].dx

Donc deux fontions à integrer :
* 1 de primitive: x
* -(exp(x)./(1+exp(x))= -f '/f de primitive -Log(1+exp(x))

Quand aux bornes c'est de 0 à 2 ça donne bien :2 -Log(1+e^2)+Log(2)

[invitece2661ac]

pour le deuxieme avec le changement de variable évident : x = u^2 signalé par Mediat le resultat est immediat reste à verifier tes bornes et ton resultat

donc si on pose: x = u^2 alors dx = 2.u.du

integ(exp(x^(1/2)).dx = integ(exp(u)2.u.du

= 2.integ(u.exp(u)+exp(u) -exp(u)).du
j'ai tout simplement ajoute et retranche (exp(u)).
* la primitive de : u.exp(u)+exp(u) est : u.exp(u) = x^(1/2).exp(x^(1/2))
* la primitive de : -exp(u) est : -exp(u) = -exp(x^(1/2))

donc si les bornes sont de 1 à 4 le resultat est :

2.[2.e^2 -e - e^2 +e] = 2.e^2