Arrgh ! Pas de définition dans un modèle à partir d'un autre modèle, cela risque fort de n'avoir pas de sens (cf. le paradoxe de Skolem).Envoyé par Michel (mmy)
Si tu veux voir le vide comme un ordinal limite il suffit de prendre comme définition qu'un ordinal est limite s'il n'est successeur d'aucun ordinal.
Cordialement.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
En fait je m'attendais à découvrir La théorie des ensembles or je découvre Les théories des ensembles. Pourquoi maintenir plusieurs théories si elles sont équivalentes ? Avec en plus l'apparition de la (ou les) théorie des catégories.
Patrick
Tu fais un faux-sens quelque part :
Oui il y a plusieurs théories axiomatiques des ensembles basées sur ZF (sans parler de NBG ou de dizaines d'autres théories alternatives), mais elles ne sont pas "équivalentes", par exemple ZF + non AC n'est pas la même théorie que ZF + AC (ZFC).
Deux théories sont différentes (dans le même langage) si l'une démontre une proposition et pas l'autre ; cela ne se décrète pas à partir des axiomes (de la même façon qu'un espace vectoriel est le même quelque soit la base choisie)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pourtant les entiers naturels par exemple peuvent être construits de la façon suivante :
0 = {}
n = n U {n}
-->
1 = {{}}
2 = {{}, {{}}}
....
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_ordinal
Ce qui semble important c'est les notions d'appartenance, d'inclusion et d'ensemble. A partir de l'ensemble vide et de ces notions on peut construire une représentation des entiers naturels.
Patrick
Oui, mais cela n'a rien à voir, tu parles d'un modèle qui contient l'ensemble vide, Michel (mmy) et moi parlions de modèle vide.
C'est la même différence qu'entre un graphe orienté vide et un graphe orienté dont un sommet n'a pas d'antécédent.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'ai du mal à exprimer l'idée. En lisant les textes de Dehornoy et plus généralement sur Woodin, j'avais l'impression qu'il y a une sorte de hiérarchies des "théorèmes de cardinaux", que j'imagine être des axiomes existentiels, et je voyais bien la hiérarchie commencer par 1) l'axiome de l'existence d'un ensemble et 2) l'axiome de l'infini.
Mon idée, fumeuse, est de relier l'axiome de l'existence d'un ensemble au cardinal 0, à un sens similaire à la relation entre l'axiome de l'infini et aleph0.
Cordialement,
Il n'en existe pas une (théorie axiomatique) et une seule alors qui inclut toute les autres ?
Patrick
Une théorie qui inclue à la fois ZF+ AC et ZF + non AC n'est pas vraiment très intéressante, qu'en penses-tu?
Cordialement,
Je n'ai pas encore le recul suffisant pour avoir un regard critique. Mais wikipédia dit : Cet axiome (Axiome de Choix) fait partie des axiomes optionnels et controversés de la théorie des ensembles.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix
Patrick
Ce que je cherchais à faire comprendre est que si on inclue un axiome et son contraire, la théorie obtenue est sans intérêt : parce qu'elle est contradictoire. En conséquence, si on prend ce que tu dis littéralement, "une (théorie axiomatique) et une seule qui inclut toute les autres" n'a aucun intérêt.
Cordialement,
Oui j'avais bien compris mais mon humour à la Raymond Devos (tout comme le vide cet humour m'attire) voulez simplement dire donc il faut faire un choix
Patrick
Oui l'ensemble vide n'est pas vide de sens. C'est la notion d'ensemble qui lui donne tout son sens.
En fait la notion {} est moins ambigu quequi pour moi représente un atome (au sens informatique les objets atomiques représentent les informations élémentaires. par exemple dans le langage LISP : Une liste est représentée par une parenthèse ouvrante, une parenthèse fermante et entre les deux, des objets atomiques ou d'autres listes, séparés par des blancs.) qui n'est pas un ensemble
Patrick
C'est le cas (je suppose que tu parles des axiomes des grands cardinaux.
C'est bien le cas
Pourquoi pas, c'est compatible avec la hiérarchie ci-dessus
Pourquoi pas, c'est compatible avec l'idée avec l'axiome de l'existence du cardinal 0, et que l'axiome de l'infini entraine l'existence du cardinal
Cordialement.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonsoir,
En fait j'en arrive à la compréhension que l'on a recourt à une approche axiomatique qui, plutôt que de définir l’objet ensemble lui-même, définit son "comportement" et ses propriétés. Peu importe la nature des objets mathématiques étudiés, il suffit de savoir comment ils se comportent.
La difficulté est d’aboutir à un système d’axiomes cohérent (pas de contradiction).
Patrick
C'est bien cela, les axiomes des groupes ne disent rien sur la nature des objets qui forment un groupe (cela peut être des nombres, des fonctions, des transformations géométriques, des chaines de caractères etc.)
Et oui : L'approche axiomatique est syntaxique et non sémantique
Un bon moyen de montrer qu'un système (en logique classique du premier ordre) est consistant c'est d'exhiber un modèle (Merci au superbe et infiniment important théorème de complétude de Gödel).
Par exemple exhiber un modèle de ZFfini montre que ZFfini est consistante (mais il n'était pas évident à trouver), mais dans d'autres cas cela peut devenir très simple (exhiber un groupe (ce qui est trivial), démontre que la théorie des groupes est consistante.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je suis, évidemment d'accord avec cela, mais on peut remarquer certaines choses intéressantes : si ZF est non contradictoire, alors tous ses modèles, y compris ceux dans lesquels HC est fausse possède un sous-modèle dans lequel HC est vraie, alors que dans l'autre sens cela ne fonctionne pas.
C'est un peu comme si je disais que dans tous les corps, y compris les corps non commutatifs je peux trouver un sous-corps commutatif (le sous-corps premier), alors que dans un corps commutatif on ne peut pas trouver un sous-corps non commutatif.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
En essayant de me faire une compréhension sur le fond de cette idée, j'en arrive à cette autre idée qu'il y a une sorte de "priorité" aux axiomes supplémentaires "existentiels" sur les axiomes inverses (genre quelque soit ... telle contrainte s'applique).
La différence que tu indiques est bien dans ce sens là : un sous-modèle sans quelque chose peut exister dans un modèle avec quelque chose, le contraire étant évidemment impossible.
Ca me semble en ligne avec ce que je crois comprendre des travaux de Woodin et consorts. En gros, si l'existence de quelque chose n'est pas démontrée incohérente avec ce qu'on a déjà "construit", alors on donne la priorité, pour la raison évoquée ci-dessus, à l'approche permettant d'inclure ledit quelque chose.
Incidemment, est-ce qu'il est décrit quelque part une sorte de classification des axiomes genre :
- existentiel (constructeurs à partir de rien) : il existe x, P(x)
- conditionnellement existentiel (constructeur à partir de quelque chose) : qqs y, il existe x, P(x, y)
- contraignant : qqs x, P(x)
(Et je remarque au passage que ZFC ne contient que des axiomes des deux premières catégories, sauf erreur de ma part.)
Dans cette terminologie mienne, je comprends l'idée que tu évoques comme disant qu'on favorisera un axiome existentiel sur son inverse (qui est un axiome contraignant) dès que l'on peut montrer qu'ils sont indécidables dans le cadre couramment admis.
Cordialement,
Note : Une "conséquence" de cette vision est que je trouve la description de la question comme HC est mal choisie (ce qui me fait l'inverser comme je l'ai fait dans un message ancien). Il aurait été plus "logique" de décrire son inverse, non HC, comme formulation affirmative... Du coup, il me faut mémoriser que c'est une "exception", ça consomme des cases mémoire pour rien.
Dernière modification par invité576543 ; 24/12/2008 à 10h14.
Je ne comprends pas cette phrase. Comme expliqué plus loin dans la discussion, l'axiome "Il existe un ensemble" implique l'existence de l'ensemble vide (via la proposition "[TEX]x\neq x/TEX]"). Mais la définition d'ensemble récursif utilise l'ensemble vide. Dans ce cas, comment l'axiome de l'infini ("il existe un ensemble récursif") pourrait impliquer l'axiome "il existe un ensemble"?
Bonne question.
Ne peut-on réécrire l'axiome de l'infini :
comme suit :
autrement, réécrit en réinjectant la définition de l'ensemble vide?
----
Si c'est correct, la question est alors pourquoi il n'est pas couramment écrit comme cela?
Peut-être que je me trompe, mais il me semble qu'on doit avoir un axiome existentiel "premier". Mais il est vrai qu'il n'est pas toujours écrit. "Même" Dehornoy présente Zfini sans aucun axiome existentiel, dans son cours de logique, chap. 1, formule 3.14. Mais je n'arrive pas à voir cela comme satisfaisant. Mais cela ne reflète vraisemblablement que mon incompréhension.
Cordialement,
Je n'ai pas le temps de développer, mais l'idée de base du forcing est très exactement là : à partir d'un modèle vérifiant une formule en
Pour la classification, dont tu parles, oui, elle existe (en cherchant "hiérarchie de formules" tu devrais trouver des choses (sinon, il y a mon document sur l'arithmétique)), c'est une hiérarchie qui compte les alternances de quantificateurs existentiels et universels (formules
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Cela représente une définition de l'ensemble vide ?
autrement, réécrit en réinjectant la définition de l'ensemble vide?
Patrick
C'est plutôt cette partie, la définition de l'ensemble vide, mais il faut d'abord se donner le X.
Avec l'axiome de l'infini modifié comme je l'ai montré le X est donné, non?
C'est plutôt cette partie, la définition de l'ensemble vide, mais il faut d'abord se donner le X.
Cordialement,
Bonjour,
Peut-on illustrer le forcing par une démonstration que l'axiome de l'infini est indécidable avec Zfini ?Je n'ai pas le temps de développer, mais l'idée de base du forcing est très exactement là : à partir d'un modèle vérifiant une formule en
Cordialement,
Je ne pense pas :
On sait que ZFfini + non "axiome de l'infini" est consistant (modèle d'Ackerman"), pour démontrer que l'axiome de l'infini est indécidable dans ZFfini, il reste à démontrer que ZFfini + axiome de l'infini est consistant (puisque ZFfini est consistant, il ne s'agit pas de consistance relative), autrement dit que ZF est consistant, ce que l'on ne sait pas faire.
Cordialement.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Je transfère l'interrogation posée dans le fil σ-algèbre dans ce fil que j'avais perdu de vu.
Si on parcours wikipédia fr on rencontre tout un ensemble (classe,collection,catégorie ...) de vocabulaire : élément, objet, ensemble, classe, classe propre, collection, catégorie ..
J'en arrive à me poser la question en fait c'est quoi un ensemble ?
Si on s'en tient à la théorie des ensembles ou tout est ensemble (et si on fait exception de l'ensemble vide) les relations d'appartenance et d'inclusion m'apparaissent comme identique. Si x appartient à A alors comme x est un ensemble il est forcement inclus dans A. Donc j'en déduit que tout ensemble est transitif.
Patrick
Tu confonds les super patates, les patates, et les mini patates.
Si x appartient à A, alors, c'est {x} qui est inclus dans A.
L'appartenant concerne les éléments de l'ensemble A, l'inclusion concerne les éléments de l'ensemble P(A) (l'ensemble des parties de A).
Mauvaise question, comme je suppose que cette question est toujours dans le cadre de ZF, il n'y a pas de réponse, ce que l'on sait c'est la liste des propriétés que doit avoir un modèle pour que ses objets méritent le nom d'ensemble.
Erreur N° 1 : l'ensemble vide est un ensemble.
Erreur N° 2 : l'appartenance et l'inclusion ne sont pas identiques
Erreur N° 3 : si x appartient à A alors x n'est pas forcément inclus dans A
Erreur N° 4 : tous les ensembles ne sont pas transitifs
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pourquoi "forcément" ???
Car ce n'est pas le cas : si E = {{a, b}, c}, il est faux de dire que {a,b} est inclus dans E. Ce qui est vrai est que {{a,b}} est inclus dans E.
On ne peut pas "supprimer" des { }, ce n'est jamais redondant, et c'est le fond même de la théorie des ensembles.
Ce serait peut-être plus clair si au lieu de parler de "théorie des ensembles" on parlait de "théorie de l'appartenance". Ce n'est pas les objets "ensemble" qui sont le fondement de la théorie des ensembles, mais la relation d'appartenance.
Je n'ai toujours pas compris ce qu'est (ou ce que peut être) une "structure" en théorie des modèles, mais il me semble clair que l'aspect premier d'un modèle de ZFC est la relation d'appartenance et que les "objets" du modèle sont "secondaires", au sens où ça peut être n'importe quoi tant que la notion d'appartenance satisfait les axiomes.
En bref, une compréhension meilleure est obtenue en faisant un "renversement de point de vue", en mettant en second plan les objets "ensemble" et en prenant comme essentielle la notion d'appartenance.
Cordialement,
Oui depuis le début x = {x} me perturbe.
Je vais donc m'en tenir à l'exemple ..., 2 = {0,1} ...., 4 = {0,1,2,3}
donc 2 appartient à 4 qui est défini par {0, 1, 2, 3} et si 2 = {0,1} il est alors aussi inclus dans 4.
Patrick
