Application linéaire

[invite57eed096]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire mais je bloque sur les commentaires, conclusions !

Voici l'énoncé :

On note B la base canonique de R³. On considère les vecteurs u₁ = (2,0,1), u₂ = (1,2,2), u₃ = (0,1,1) de R³ et on note B' = {u₁, u₂, u₃}. On note E = Vect(u₁, u₂), F = Vect(u₃). On considère les matrices suivantes :

S = , P' =

1) Déterminer l'image et le noyau de l'application linéaire s canoniquement associée à S.

2) Démontrer que l'application s est injective si et seulement si Ker(s) = {0}.

3) Déterminer l'inverse de la matrice S. Que dire de l'application linéaire s ?

4) Démontrer que B' est une base de R³.

5) Déterminer la matrice S' de l'application s dans B'. Conclure.

6) Démontrer que E et F sont deux espaces vectoriels supplémentaires dasn R³.

7) Déterminer la matrice P de l'application linéaire ayant P' pour matrice dans la base B'

8) Calculer 2P' - S' et 2P - S. Commenter ce résultat et en donner une illustration géométrique.


Pour la 3) je trouve que S^-1 = S , je ne vois pas trop quoi dire mise à part que l'application s est une application linéaire bijective.

Pour la 5) je trouve que S' = . Je pense donc mettre que l'application s dans B' est une réflexion par rapport au plan (xOy).

Pour la 8) je trouve que 2P' - S' = 2P - S = Id et la je vois pas du tout quoi faire.

Auriez-vous des indications à me donner ?

Merci !
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[Kairn]

Pour la 3, elle est effectivement bijective, mais je ne crois pas que ce soit ce qui est attendu. Tu as S² qui vaut la matrice identité, soit s²=Id. N'est ce pas une application qui porte un nom spécifique ? D'ailleurs, tu le dis à moitié dans la question 5

Pour la 8, tu dois pouvoir en déduire quelque chose sur P (ou P', cela revient au même). D'ailleurs, la lettre P n'est certainement pas choisie au hasard...

[invite57eed096]

Une symétrie ?


Pour ce qui est de P' on voit que c'est une Projection sur le plan (xOy) dans la base B' mais ça on le voit depuis l'énoncé.
Je ne vois pas ce que la question 8 nous apporte.

Merci pour la réponse