Équation différentielle et variation de la constante

[invitedee1419c]

Bonjour,

Je planche actuellement sur des équa diff, mais je suis très incertain du résultat, surtout que la correction qu'on m'a donnée pour certaines ne correspond pas à ce que j'ai fais.

xy' + 3y = x^2 et y(1) = 0

Voici ce que j'ai fais :

I) Équation caractéristique :

xr + 3 =0
=>r = -3/x

La primitive de -3/X étant -3 ln(x)

La solution homogène est donc yh(x) = C*e^(-3ln(x)) = C*x*e^-3 ( h pour homogène )

II) Cherchons une solution particulière par la méthode de la variation de la variable :

Je transforme donc C en C(x) tel que yp(x) = C(x)*x*e^-3 (p pour particulier)

Je procède à l'identification en injectant cette solution dans xy' + 3y = x^2 ( pour déterminer C(x) )

Pour ce faire, je calcule d'abord la dérivée de ma solution particulière : yp(x)'=C(x)'*x*e^-3 + C(x)*e^-3

On a donc x*( C(x)'*x*e^-3 + C(x)*e^-3 ) + 3*( C(x)*x*e^-3 ) = x^2
=> e^(-3)*( C(x)'*x + C(x) + 3*C(x) ) = x ( Les différents x se sont simplifiés et j'ai factorisé avec e^-3 )
=> C(x)'*x + C(x) + 3*C(x) = x*e^3 ( Je fais passer e^-3 de l'autre côté. Je le fais passer au côté de x au numérateur au lieu de le laisser au dénominateur en enlevant le "-" devant le 3 )

Je me retrouve avec une nouvelle équation différentielle, il me faut trouver C(x), mais lorsqu'on essaye de la résoudre, lors de l'identification, on retrouve ENCORE une nouvelle équation différentielle et ce à l'infini (à première vue).

Où ai-je pêché?

Merci d'avance !
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[invite57a1e779]

Bonjour,

L'erreur est dans la solution homogène.

yh(x) = C*e^(-3ln(x)) = C*x*e^-3

Il faut revoir la manipulation des exponentielles : .

[invitedee1419c]

Merci beaucoup de votre réponse !

Que suis-je suis bête !

Du coup,

yh(x) = Cx^-3 = C/x^3

Du coup,

yp(x) = C(x)/x^3
Et yp(x)' = [ (C(x)'*x^3) - (3*C(x)*x^2) ] / x^5

Identification dans xy' + 3y = x^2 et y(1) = 0,

[ (C(x)'*x^3) - (3*C(x)*x^2) ] / x^4 + 3* ( C(x)/x^3 ) = x^2
=> 3C(x)/x^3 = [ (C(x)'*x^3) - (3*C(x)*x^2) ] / x^2
=> 3C(x)/x^3 = C(x)'*x - 3*C(x)
=> C(x)*( 3/x^3 + 3 ) - C(x)'*x = 0

Équation caractéristique :

rx + ( 3/x^3 + 3 ) = 0
=> r = -3/x^4 + 3/x
Une primitive est (-3/4x)*ln(x^4)+3ln(x)

yh(x) = K*e^[ (-3/4x)*ln(x^4)+3ln(x) ]
= K*( e^[(-3/4x)*ln(x)] + e^[3ln(x)] )
= K*( x^(-3/4x) + x^3 )

Équation particulière par la variation de la constante :

yp(x) = K(x)*( x^(-3/4x) + x^3 )
La dérivée est yp(x)' = K(x)'*x^(-3/4x) + K(x)*(-3/4x)x^(-3/4x -1) +K(x)'x^3 + 3K(x)e^2

identification : etc.

Ça s'emballe, je me suis à coup sûr trompé quelque part, non?

[gg0]

Heu ... le carré de x^3 est x^6 et yp(x)' se simplifie de façon évidente.

rappel : Calculer beaucoup n'a aucun intérêt si on calcule faux. C'est facile de calculer juste : A chaque étape on vérifie qu'on a appliqué strictement les règles (par exemple (x^n)^p) et rien fait d'autre.

L'intérêt de la méthode de variation de la constante est que C disparaît et qu'on obtient C'(x)= une fonction explicite. Si des C restent, c'est que tu t'es trompé.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedee1419c]

Merci beaucoup de la réponse !

Oui je me suis trop précipité, je dois apprendre à être plus rigoureux.

Du coup, tout s'annule :


[ (C(x)'*x^3) - (3*C(x)*x^2) ] / x^5 + 3* ( C(x)/x^3 ) = x^2

=> C(x)'/x^2 - 3C(x)/x^3 + 3C(x)x^3 = x^2

=> C(x)' = x^4

=> C(x) = x^5/5

Solution générale : yg(x) = C/x^3 + x^5/(5*x^3)

Conditions initiales :

y(1)=0

=> C + 1/5 = 0
=> C = - 1/5

Donc yg(x) = (-1/5)/x^3 + x^5/(5x^3)

Pour vérifier que c'est bon, je fais l'identification dans xy' + 3y = x^2

( La dérivée de yg(x) est yg(c)' =[ (3/5)x^2 ] / x^6 + [ (5x^4)*(5x^3) - (15x^2)*x^5 ] / 25x^6 )

=> [ (3/5)x^2 ] / x^5 + [ (5x^4)*(5x^3) - (15x^2)*x^5 ] / 25x^5 + (-3/5)/x^3 + 3x^5/(5x^3)
= (3/5)/x^3 + x^2 - (3/5)x^2 - (3/5)/x^3 + (3/5)x^2
= x^2

Ça marche !!!!

Merci à tous !

[gg0]

Heu ... en général, C'(x)=x^4 donne C(x)=x^5/5+k où k est une constante, ce qui, multiplié par 1/x^3 donne y=x²/5+k/x^3, qui est la solution que tu as trouvée mais pas simplifiée (inexcusable dans ce cas dès la fin du collège, dont à ton niveau ...).

ta devise semble être "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ,"

[invitedee1419c]

Ouais, j'ai fais vite, en temps normal, face à une feuille, j'aurais simplifié tout de suite.^^

Mais on est pas obligé de mettre la constante quand on primitive, non? Enfin, je veux dire, on peut l'égaliser à zéro immédiatement non?

Sinon, ça voudrait dire que ma solution homogène devrait être :

yh(x) = C1*e^(-3ln(x) + C2)
= C1*e^( ln(x)*(-3 + C2/ln(x) )
= C1*x^(-3+ C2/ln(x) )

Ou un truc du genre, enfin avec deux constantes quoi.

[gg0]

Toujours compliquer ! Pourquoi revenir à l'exponentielle ?

Et tu n'as pas compris comment on résout l'équation homogène. Revois un cours. Tu comprendra que le C (qu'on remplace ensuite par C(x)) vient justement de la constante d'intégration.

" je veux dire, on peut l'égaliser à zéro immédiatement non?" Ah bon ? une constante te gène, tu décides qu'elle est nulle ? ce n'est plus des maths ...

[invitedee1419c]

Ah ok d'accord ! En fait, on a jamais vraiment fait la théorie, mais "la solution c'est ça point".

Non, mais je me disais qu'une fonction peut avoir plusieurs primitives dont une où la constante est nulle, du genre 2x+3 et 2x sont tout deux primitive de 2.

Mais sinon, une dernière question :

" C'(x)=x^4 donne C(x)=x^5/5+k où k est une constante, ce qui, multiplié par 1/x^3 donne y=x²/5+k/x^3, "

Quand on ajoute la solution homogène, les deux constantes se mettent bien ensembles pour former une "nouvelle" constante, non?

=> la solution homogène, c'est C/x^3, Donc on a C(x)/x^3 avec C(x) qui vaut le truc d'au-dessus : (x^5/5+k)/x^3 = x^2/5 + k/x^3

et quand on ajoute la solution homogène, les deux dernier termes sont donc k1/x^3 + k2/x^3

[gg0]

"Quand on ajoute la solution homogène, "

Mais ici on n'a pas cherché une solution particulière, on a cherché la solution générale sous la forme y=C(x)yh(x). Tu mélanges deux méthodes très différentes.

Tu devrais lire ce que tu as toi même écrit ...

[invitedee1419c]

Ah oui oui j'étais obnubilé par C(x) en oubliant que la solution particulière complète était C(x)/x^3 ^^

[gg0]

Ah oui oui j'étais obnubilé par C(x) en oubliant que la solution particulière complète était C(x)/x^3 ^^

Non, c'est la solution générale complète.