Série de fonctions et convergence normale, uniforme

[Perfectina]

Bonjour.

On étudie la série de fonctions suivante. Je ne comprends pas certains passages de la correction.



Si x>0, alors le terme général tend vers 0 (lorsque n tend en l'infini), donc la série converge.
Si x=0, le terme général est nul, donc la série converge.
Si x<0, le terme général tend en l'infini, donc la série diverge.

Jusqu'ici, pas de problème.

Ensuite, ils disent que :

Lorsque x>0, donc et la série de terme général Un converge simplement. Je n'ai pas compris ce qui suivait ce "donc". Pourquoi cette conclusion (enfin si, je comprends que 1/n² converge d'après les règles de Riemann), mais d'où sort ce majorant 1/n² ?

Ensuite, on remarque que la série converge simplement lorsque donc sur .

Maintenant, pour étudier la convergence normale (et donc uniforme), ils calculent la dérivée de fn(x) qui est . Ils "remarquent" que cette dérivée s'annule en 2/racine(n) et que |fn(2/racine(n))|=4/e² qui ne tend pas vers 0, donc la série ne converge pas normalement ni uniformément sur R+.

On prouve que sur un intervalle [a,+infini[, avec a>2/racine(n), la série converge normalement donc uniformément sur R+.

J'aimerais que quelqu'un m'éclaircisse. Je ne comprends vraiment pas cette partie sur l'étude de la convergence normale / uniforme. Je travaille en autodidacte, mais là j'ai vraiment du mal à comprendre. Comment on trouve que fn'(x) s'annule en 2/racine(n) ? Y a-t-il une règle qui veut que lorsque la dérivée s'annule en x0, si |fn(x0)| ne tend pas vers 0, alors elle ne converge pas uniformément ou normalement ?

C'est dur pour moi de faire tout seule, d'où les (probables) nombreuses confusions, mais j'espère que vous pourrez m'éclaircir sur ces points incompris.

Bonne journée / soirée.
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[gg0]

Bonjour.

"Si x>0, alors le terme général tend vers 0 (lorsque n tend en l'infini), donc la série converge." ????
Une des premières choses qu'on apprend sur la convergence est que si une série converge alors son terme général tend vers 0 mais que le fait que le terme général tende vers 0 ne prouve aucunement la convergence. Ta fin de phrase est une erreur classique, mais une grosse erreur.

Pour la suite, si ce que tu écris est vraiment ce qui a été écrit, ça n'a pas de sens. Je comprendrais s'il était écrit que

Et dans ce cas, une quantité positive qui tend vers 0 devient inférieure à 1 ce qui justifie la suite.

En tout cas, je te conseille de bien lire un cours sur les séries numériques (inutile de faire des exercices sur les séries de fonctions si on ne sait pas correctement traiter les séries simples) pour comprendre ce qui est fait. Tout ce qui concerne la convergence simple n'est que de l'application des règles sur les séries simples.

Cordialement.