Géodésiques d'un cylindre & d'un hélicoïde

[The_Anonymous]

Bonjour à tous!


Je suis en train d'étudier la géométrie différentielle et il y a deux exercices qui me posent problème :

• Montrer que les géodésiques d'un cylindre généralisé sont des courbes de pentes constantes. Préciser ensuite le cas du cylindre circulaire droit.
• Montrer que la courbe , pour , est une géodésique de l'hélicoïde . Donnez une raison géométrique à ce fait.

Pour le premier exercice, je repars des définitions que j'ai dans mon livre. Un cylindre généralisé (vertical) est une surface obtenue en prenant l'ensemble des droites verticales passant par une courbe du plan 0xy. Si est l'équation de la courbe , alors le cylindre est donné par où .
Avec ceci, j'ai pensé au paramétrage de ce cylindre en tant que , où et sont des fonctions telles que le paramétrage est équivalent à la définition du cylindre de l'équation cartésienne . Avec ceci, j'obtiens ainsi que . Si est le paramétrage d'une géodésique, le système suivant doit être vérifié :

Mais que tirer de ce système? Je peux poser , avec et des constantes, mais je ne sais pas quoi comprendre de la première ligne du système. Comment arriver à ce que , la définition de la pente d'une courbe, soit une constante? Faut-il plutôt opter pour un raisonnement géométrique ou y a-t-il un moyen de résoudre le problème de façon plus analytique?

Pour le cas du cylindre circulaire droit, l'équation cartésienne est défini comme , où est le rayon du cylindre. Je propose le paramétrage suivant : , donc et . On obtient alors le système pour la géodésique :

.

Je reste à nouveau coincé sur la première ligne que je ne sais pas comment résoudre. D'après mes recherches sur internet, les géodésiques sont les hélices circulaires qui, une fois appliquées à un plan, sont des droites affines, et qui peuvent se paramétrer comme , où sont des constantes. Je ne sais pas comment obtenir ceci, mais après calculs, j'obtiens , ce qui ne vérifie pas le système au-dessus.

Je suis donc bloqué à ce stade, je ne vois pas comment avancer.




Pour le deuxième exercice, j'ai essayé de le prouver analytiquement : soit la géodésique , . Je calcule alors . Or, l'hélicoïde d'équation

peut être également paramétrer comme , donc et . J'obtiens alors le système :

.

Dans la première ligne, peut-on poser pour que l'égalité soit vérifiée? Dans la deuxième ligne, si , on obtient malgré tout . Comment est-ce possible si est effectivement une géodésique?

Pour l'argument géométrique, je comprends que la courbe définie ci-dessus correspond à la courbe qui se déplace sur l'hélicoïde à distance de l'axe . Que dire de plus pour expliquer que cette courbe est bien une géodésique de l'hélicoïde?


Merci d'avance pour l'aide!
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[invite52487760]

Bonjour,

Tu apprends la géo.diff. à 18 ans !! Waow !
Peux etre que c'est un signe que tu seras un futur génie.
Bonne chance. Accroche toi.

Cordialement.

[The_Anonymous]

Eh bien... merci!

Cela ne m'aide pas vraiment dans mon exercice, mais merci pour le compliment, bien que je doute que j'ai quoi que ce soit d'un génie.


Ceci dit, j'apprécierais des idées pour avancer mon exercice!

Cordialement

[God's Breath]

Bonjour,

La représentation paramétrique (théorique...) est en fonction d'une abscisse curviligne, donc le vecteur est unitaire, c'est-à-dire que ses coordonnées sont ses produits scalaires avec les vecteurs du repère orthonormé de référence.

Ce qui est fondamental dans le cas du cylindre, c'est que le vecteur est constant, et c'est le troisième vecteur du repère.

L'équation s'intègre tout simplement en , c'est-à-dire que l'angle entre le vecteur , qui dirige l'axe vertical du repère, et le vecteur , qui est tangent à la géodésique, est constant. Tu obtiens bien que les géodésique sont les courbes de pentes constantes.

L'autre équation précise la direction horizontale de la tangente à la géodésique, ce qui n'a aucun intérêt ici.

Dans le cas du cylindre de révolution, tu paramètre la géodésique par une abscisse curviligne . Le point courant de la géodésique appartient au cylindre sur lequel il est défini par des paramètres et qui sont donc fonction de .

Je m'exprime autrement. Le cylindre est défini par la représentation paramétrique :



donc toute courbe tracée sur le cylindre, en particulier les géodésiques admettent des représentations paramétriques de la forme :



Les équations des géodésiques sont donc :

— d'une part : , d'où , et on se débrouille généralement pour avoir en prenant comme origine de l'abscisse curviligne le point où la géodésique intersecte le plan (ce point existe et est unique au vu de l'expression de ) ;

— d'autre part : avec :



donc la fonction est déterminée, pour une géodésique, par :



ce qui conduit à l'expression générale : , d'où les représentations paramétriques des géodésiques du cylindre de révolution :



Pour les géodésiques de l'hélicoïde, tu t'es trompé de paramètre.

Pour un nombre réel (fixé...) on définit la géodésique (en quelque sorte la géodésique numéro ), par la représentation paramétrique :



qui est fonction du paramètre (et pas ).

Cette courbe est une droite (horizontale...), donc est trivialement une géodésique de l'hélicoïde puisqu'elle vérifie la propriété d'extremum de la distance entre deux de ses points.

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

Bonjour,

La représentation paramétrique (théorique...) est en fonction d'une abscisse curviligne, donc le vecteur est unitaire, c'est-à-dire que ses coordonnées sont ses produits scalaires avec les vecteurs du repère orthonormé de référence.

Ce qui est fondamental dans le cas du cylindre, c'est que le vecteur est constant, et c'est le troisième vecteur du repère.

L'équation s'intègre tout simplement en , c'est-à-dire que l'angle entre le vecteur , qui dirige l'axe vertical du repère, et le vecteur , qui est tangent à la géodésique, est constant. Tu obtiens bien que les géodésique sont les courbes de pentes constantes.

L'autre équation précise la direction horizontale de la tangente à la géodésique, ce qui n'a aucun intérêt ici.

Dans le cas du cylindre de révolution, tu paramètre la géodésique par une abscisse curviligne . Le point courant de la géodésique appartient au cylindre sur lequel il est défini par des paramètres et qui sont donc fonction de .

Je m'exprime autrement. Le cylindre est défini par la représentation paramétrique :



donc toute courbe tracée sur le cylindre, en particulier les géodésiques admettent des représentations paramétriques de la forme :



Les équations des géodésiques sont donc :

— d'une part : , d'où , et on se débrouille généralement pour avoir en prenant comme origine de l'abscisse curviligne le point où la géodésique intersecte le plan (ce point existe et est unique au vu de l'expression de ) ;

— d'autre part : avec :



donc la fonction est déterminée, pour une géodésique, par :



ce qui conduit à l'expression générale : , d'où les représentations paramétriques des géodésiques du cylindre de révolution :



Pour les géodésiques de l'hélicoïde, tu t'es trompé de paramètre.

Pour un nombre réel (fixé...) on définit la géodésique (en quelque sorte la géodésique numéro ), par la représentation paramétrique :



qui est fonction du paramètre (et pas ).

Cette courbe est une droite (horizontale...), donc est trivialement une géodésique de l'hélicoïde puisqu'elle vérifie la propriété d'extremum de la distance entre deux de ses points.

Bonjour God's Breath,

Merci infiniment pour cette réponse détaillée, claire, et complète!

Tout est tellement bien expliqué que je ne crois pas avoir de questions restantes, le raisonnement me semble rien d'autre que parfait (j'imagine que les points d'exclamations dans la citation ci-dessus sont des fautes de frappe).

Rien ne vaut le sentiment satisfaisant de boucler la boucle, de comprendre la réponse jusqu'au bout! Merci encore énormément!

Cordialement

[God's Breath]

Oui, il y a effectivement quelques fautes de frappe... dont une dans qui s'est propagée par copier/coller.

[invite52487760]

Bonjour Anonymous :

est ce que tu peux nous informer sur le nom du livre où tu apprends tout ça ?

Merci d'avance.