Algèbre de Lie des vecteurs de Killing

[inviteaceb3eac]

Bonjour,

Je rencontre quelques problèmes au niveau de la définition de l'algèbre de Lie des vecteurs de Killing. Considérons un groupe de Lie G, ayant comme générateurs . Considérons également une variété différentielle ayant G pour groupe d'isométrie. Si l'on note les coordonnées de la variété , cela signifie que la métrique est invariante sous les transformations lorsque l'on fait une isométrie infinitésimale . Les générateurs du groupe de Lie G satisfont l'algèbre . (A partir de là cela devient plus flou. J'ai lu des choses différentes, avec par exemple des gens qui écrivent , alors qu'il n'y a pas de sommation implicite n'est-ce pas? )
Ensuite j'ai lu que cela impliquait une structure d'algèbre de Lie pour les vecteurs de Killing, mais j'ai vu des choses assez différentes:
(ou alors comme précédemment avec , mais pourtant il n'y a pas non plus de sommation implicite?)
ou encore (ou bien ). C'est d'ailleurs cette dernière égalité dont j'ai besoin, comment peut-on la démontrer?

Des éclaircissements seraient sur les liens entre ces différentes définitions seraient donc les bienvenus, merci par avance !
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[Seirios]

Bonjour,

Les notations que tu utilisent viennent plutôt de la physique, alors j'ai un peu de mal à m'y retrouver; mais pour ce qui est de l'indice c, il doit bien y avoir sommation, puisque l'expression du membre de gauche ne dépend justement pas de cet indice : dans le cas contraire, l'expression n'aurait pas de sens.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Un champ de Killing, c'est un champ de vecteur, tel que la dérivée de Lie de la métrique le long de champ soit nul. Maintenant sur les champ de vecteurs (tangents) sur une variété tu as une structure naturelle d'algèbre de Lie, donnée par le commutateur si tu vois un champ de vecteur comme une derivation sur l'algèbre des fonctions lisses.
La seule chose dont il faut se convaincre c'est que le crochet de Lie de deux champs de Killings est un champ de Killing, ce qui est immediat car la dérivée de Lie est un morphisme d'algèbre de Lie.
Si ton groupe de Lie G agit par isometrie sur ta variété alors la dérivée de l'action donnée par exp(tX).x en 0 vaut un vecteur de killing en x, autrement dit tu as un moprhisme de g (l'algèbre de Lie de G) dans celle des champs de Killing (evalué en un point)

Pour le reste je ne comprend pas trop tes notations, notement celles de la dernière equation.

[inviteaceb3eac]

Bonjour,

merci à vous deux pour ces réponses. Je suis d'accord pour la sommation, c'est vrai que cela serait bizarre autrement, mais les différentes notations que j'ai rencontrées m'ont laissé perplexe. J'ai encore trouvé une autre formule, qui serait peut-être préférable si j'ai bien compris: ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Bonjour,

merci à vous deux pour ces réponses. Je suis d'accord pour la sommation, c'est vrai que cela serait bizarre autrement, mais les différentes notations que j'ai rencontrées m'ont laissé perplexe. J'ai encore trouvé une autre formule, qui serait peut-être préférable si j'ai bien compris: ?

Salut :

Si je ne m'abuse : signifie que :

Cordialement.