Certaines personnes affirment haut et fort que 0,999999... ( sous entendu, une nombre réel avec une infinité de 9 ) est parfaitement égal à 1.
Selon eux, en voilà la démonstration :
x = 0,9999999...
10x = 9,999999...
10x - x = 9,999999.... - 0,999999....
9x = 9
x = 1.
Ainsi pour ces gens, il ne s'agirait que deux formes d'écriture d'un même nombre.
Pourtant, il y a bien une erreur dans ce raisonnement, et c'est à la ligne :
10x -x = 9,99999... - 0,99999... = 9
En réalité, x dans notre cas n'est pas égal à 1 mais est égal à 1 moins une infime quantité, un nombre infiniment petit, que l'on nommera ε.
ε n'est pas un nombre réel, et vaut l'inverse de l'infini, lui même n'étant pas un réel.
Si on réécrit la démonstration, tout devient clair :
x = 1 - ε
10x = 10 ( 1 - ε )
10x = 10 - 10ε
10x - x = 10 - 10ε -( 1 - ε )
9x = 9 - 9ε.
x = 1 - ε
On voit qu'on ne retrouve pas x, mais bien 1 - ε, un nombre infiniment proche de 1 mais qui reste différent de 1.
Après, l'introduction de ce ε permet de se rendre compte que certaines choses que l'on considérait comme acquises ne le sont pas.
Par exemple, on a toujours dit que 1/3 = 0,33333... Et que 0,333333... x 3 = 1.
En réalité, ce n'est pas tout à fait vrai, 0,333333.... x 3 = 0,999999.... et donc il manque toujours un petit quelque chose pour arriver à 1.
La vérité c'est que 0,3333333 ... x 3 + ε = 1.
Bref, il vaut mieux écrire les nombres sous forme de fraction, on restera toujours plus juste.
Car si, à la base, on dit que 1/3 = 0,333333... c'est qu'en faisant le calcul à la main, c'est le résultat que l'on trouve et on s'arrête avant.
Par exemple, la division euclidienne de 10 par 3 vaut 3, et il reste 1. En réalité, ε est une sorte de reste par une sorte de "super division euclidienne", infinitésimale, de 1. En physique, ce nombre est absolument négligeable. Mais en maths, cela a beau être trois fois rien, ça suffit à faire la différence pour ne pas pouvoir affirmer en toute rigueur que 0,99999.... = 1.
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