Bonjour, Prière de m’aider à répondre au problème suivant :
Pour $r\in \mathbb{N}$ ,On pose $E_r=\{P\in \mathbb{R}[x_1,x_2,\ldots,x_d] \mid \deg P\le r \}$.
Et pour $P\in E_r$ on définie la fonction $R_P:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$ par $\displaystyle R_P(x)=\sum_{1\le|\alpha|\le r} |\partial_x^{\alpha}P(x)|^{\fr ac{1}{|\alpha|}} $
Question :
en utilisant la formule de Taylor pour un polynôme : $$
P(x_0+t)=\sum_{|\alpha |\le \deg P} \frac{\partial_x^{(\alpha)} P(x_0)}{\alpha !} t^{\alpha }
$$montrer que la famille des polynômes $\big(P(x_0+\frac{x}{R_P(x_0)} )-P(x_0)\big)_{x_0\in \mathbb{R}^d,\,P\in E_r}$ est relativement compacte dans $\mathbb{R}[x_1,x_2,\ldots,x_d]$ muni de la norme de $L^{\infty}(R^d)$.
Voici ce que j’ai fait :
Par définition, $A=(P(x_0+\frac{x}{R_P(x_0)})-P(x_0))_{x_0\in \mathbb{R}^d,P\in E_r}$ sous-ensemble de $E=\mathbb{R}[x_1,x_2,...,x_d]$ est relatviement compact quand de toute suite d'éléments de A on peut extraire une suite convergente, dont la limite est dans $E$.
En utilisant la formule de Taylor on obtient:
$P(x_0+\frac{x}{R_P(x_0)})-P(x_0)=\sum_{1\le|\alpha|\le r} \frac{\partial_x^{\alpha}P(x_0 )}{\alpha !}(\frac{x}{R_P(x_0)})^{\alpha }$
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,On pose 
Envoyé par amine1234 
