série de fonctions intégrable donc convergence uniforme ?

[invitee80ace7d]

Bonjour à tous et merci d'avance,

J'essaie de faire un exercice mais ne comprends pas la correction. Voici mon problème :
Dans l'exercice, on a montré l'égalité suivante :



pour x dans ]-1,1[ et t>1.

Si on note g la fonction étudiée et un le terme général de la série, on sait que un>0 et que la fonction g est intégrable sur ]1,+inf[.

Nous souhaitons calculer l'intégrale de g. Le corrigé explique que le théorème d'intégration terme à terme est utilisable en justifiant que g est intégrable et un>0.

Pourtant, il me semble qu'il est nécessaire de prouver la convergence uniforme de la série pour pouvoir intervertir série et intégrale. Quoi qu'il en soit, je ne vois pas en quoi l'intégrabilité de g suffit à justifier l'interversion de la série et de l'intégrale.

Je vous remercie d'avance pour votre aide, et vous souhaite une bonne journée.
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[invite57a1e779]

La convergence uniforme produit son effet sur les intervalle compacts, ce qui n'est pas le cas ici.

Pour positif, le terme général de la série est, pour tout supérieur à 1:



donc, pour tout entier naturel :



et l'intégrabilité de prouve que est intégrable sur , et le théorème de convergence monotone suffit à justifier l'intégration terme à terme de la série par l'intermédiaire de:



Par contre si est négatif, la série est alternée, et il faut passer par la convergence de la série de terme général , ce qui est ramène en fait à étudier la série en , et on est ainsi ramené au premier cas, ce qui permet de conclure.

[invitee80ace7d]

D'accord, merci beaucoup pour cette réponse très claire !