Bonjour,
Je souhaite obtenir des références de documentation traitant de la division de la forme (a*x^n +/- b*y^n) par (x +/- y) ; a, b, n, x, y étant des entiers .
J'ai utilisé Google et Yahoo, mais sans succès .
Merci d'avance pour votre aide .
Bonjour,
Cela se ramène facilement, si n est impair ou dans le cas -, au polynome x^n-1 qui a été très étudié, car les solutions sont les racines niemes de l'unité.
Voir ceci par exemple
https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%...e_cyclotomique
Pour le cas x^n+1 avec n pair, le plus simple de repartir du cas x^2n-1 qui va se décomposer en (x^n-1)(x^n+1)
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Bonjour AIB.
Resartus a traité le cas a=b. Par contre, la question de la divisibilité de 2x^5-3y^5 par x-y est évidente si la division se fait dans R (toujours divisible sauf si x=y) et est très délicate à traiter dans N (problèmes diophantiens). Et on peut aussi s'interroger sur la division euclidienne de 2x^5-3y^5 par x-y dans Z[x] ou dans Z[x,y].
Pourquoi poses-tu cette question ? et quelle divisibilité ?
Cordialement
Bonjour,
Effectivement, j'ai lu trop vite, et répondu complétement à coté, puisque AIB précise bien qu'il parle d'entiers... Désolé..
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Euh ... il y a plusieurs interprétations possibles, j'en ai cité trois (arithmétique, polynômes à une variable, à deux variables), mais il y en a sans doute d'autres.
Attendons que AIB donne le contexte.
Cordialement.
Bonjour,
Merci pour vos réponses.
Oui, il s'agit de la division euclidienne que parfois on utilise dans les problèmes diophantiens.
Cordialement
Oui,
mais s'agit-il de division polynomiale (valable quels que soient x et y), ou bien d'un problème d'arithmétique des entiers ?
Il est vrai que la division polynomiale peut donner des résultats. Mais ici, je ne vois pas. Et on ne sait toujours pas quel est le contexte de ta question.
Le contexte est bien connu. Il s'agit de l'équation diophantienne :
(1) ax^n +/- by^n = c , (a, b et c premiers entre eux)
où je pose c=k(x +/- y) et ainsi (x +/- y) est un caractère de divisibilité de (1).
Pour n=2, (1) est une forme quadratique et la littérature en est abondante mais la divisibilité n'est pas abordée d'après le peu d'articles que j'ai pu lire.
J'adore :
"Le contexte est bien connu"
Boen oui, AIB, tu sais quel est le contexte de ta question, et tous ceux qui le connaissent le connaissent. Alors pourquoi ne aps l'avoir dit tout de suite ?
Bon, je sors ...
