Équation différentielle du second ordre linéaire inhomogène à coefficients constants

[invite5f8c24e8]

Bonjour,

Mon problème est à propos d'une équation différentielle linéaire inhomogènes à coefficients constants du second ordre.

voici l'ED : y''(t) + y(t) = 1 + sin(t)

On m'a enseigné qu'à partir de ça on peut déterminer que la solution particulière w(t) sera de la forme :

w(t) = c + xtcos(t) + ytsin(t)

Je trouve la dérivée première et seconde de w(t), et en remplaçant dans l'ED initiale, je trouve :

-2xsin(t) + 2ycos(t) + c = 1 + sin(t)

Jusque là, c'est correct selon mon corrigé.

En partant du fait que sin(t) et cos(t) sont 2 fonctions linéairement indépendantes, je pose le système composé des 2 équations suivantes :

2x = 1 - c
-2y = 2 - c

Le problème est qu'il me manque quelque chose pour pouvoir résoudre ce système, et le détail n'est pas indiqué dans mon corrigé. Les valeurs sont simplement affichées comme c = 1, x = -1/2, et y = 0

C'est là que je suis bloqué. Comment poser que c est égal à 1?

Mon idée à moi a été de dériver [ -2xsin(t) + 2ycos(t) + c = 1 + sin(t) ], et là j'arrive effectivement à trouver les valeurs de x et y, que je peux ensuite substituer pour trouver c. Mais je n'y vois absolument pas de logique, notre prof ne nous ayant pas parlé du fait qu'il faut dériver à ce moment là pour trouver ces solutions.

Quelqu'un a-t-il une explication? Ou simplement quel est la méthode à suivre à partir de là où j'ai indiqué que j'étais bloqué, plus haut?

Un grand merci pour votre aide.
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[invite57a1e779]

En partant du fait que sin(t) et cos(t) sont 2 fonctions linéairement indépendantes

C'est là que le bât blesse. Il faut utiliser le fait que , et sont 3 fonctions linéairement indépendantes.

Du coup, la relation , valable pour tout , fournit : , et .

[invite5f8c24e8]

Ah d'accord je crois avoir compris. En fait je ne suis pas sûr de voir ce que tu veux dire par " t-> cost, t->sint, et t->1", mais en fait, même en m'étant dit que sin et cos sont des fonctions indépendantes, je ne l'ai pas vraiment fait correctement de mon côté, et de plus j'aurais dû inclure les constantes de la même façon.
Encore une fois je pense avoir compris mais je n'arrive pas à l'exprimer correctement avec le bon vocabulaire, et de nouveau je n'ai pas parfaitement compris ta notation ci-dessus, mais donc en définitive, merci beaucoup !

[invite57a1e779]

[…] sin(t) et cos(t) sont 2 fonctions […]

Mathématiquement, et ne sont pas des fonctions, mais des nombres réels... par contre est une fonction, plus précisément est la fonction qui, à tout nombre réel , associe le nombre réel , ce que l'on note (j'ai oublié le talon des flèches dans mon précédent message).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5f8c24e8]

Ah c'était simplement dans ce sens là. Ben c'est tout à fait clair maintenant (en effet j'ai assez peu l'habitude et avec le talon j'aurais probablement plus percuté). Merci beaucoup pour ton aide !