algebre 2

[neo62950]

bonjour,

j'ai encore besoin de votre aide pour verifier un exercice. Il me semble que j'ai bien compris l'exercice, je vais eviter les details et donner ce que j'ai trouver.


soit f: R4 -> R3 appli lineaire.... dont la matrice est ;

1 1 1 2
1 2 0 3
2 3 1 5

determiner base de ker(f) et base de l'im(f)

donc j'ai ker(f)={0;0;0} donc vecteur nul. Par consequent l'application est injective. Pour la base de ker(f) c'est egalement le vecteur nul? (seul bemol de l'exo je ne suis pas sur de moi)

pour im(f) j'ai une atrice de rang 3 (pouvez vous confirmer svp)
j'ai donc obtenue im(f)={(x,y,z) € E; z-(x+y) = 0}

donc j'obtiens les vecteurs (1;-1;1) et (1;0;1) comme base d'im(f)

ensuite il me demande de trouver l'ensemble des solutions de l'equation f(x,y,z,t) = (1;1;1) et f(x,y,z,t) = (1,2,3) je presume qu'en faisant le pivot de gauss on trouve la solution (comme j'ai fait pour ker(f) j'ai pris f(x,y,z,t) = (0,0,0))

je veux juste savoir si c'est correct pour etre sur d'avoir compris cette partie de cours et si quelqu'un peut egalement me dire pour la base de ker(f) (j'ai pas beaucoup d'info sur ca, c'est juste ecrit que si ker(f)={0} alors l'appli est injective)

merci beaucoup
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Une application linéaire de R⁴ dans R³ ne peut pas être injective, donc son noyau ne peut pas être réduit au vecteur nul.

D'ailleurs le noyau est un sous-espace vectoriel de R⁴, donc ses éléments devraient être de la forme .

Mon esclave de calcul (Xcas) me dit que la matrice est de rang 2.

La détermination de l'image est correcte.

[gg0]

Bonjour.

"donc j'ai ker(f)={0;0;0} donc vecteur nul. Par conséquent l'application est injective. Pour la base de ker(f) c'est également le vecteur nul?"
Tu veux dire ker(f)={(0;0;0;0)} j'imagine. Car par définition, kef(f) est un sous ensemble de R^4, donc un ensemble de quadruplets.

" (seul bémol de l'exo je ne suis pas sûr de moi)" : Ben, si tu as fait une démonstration (donc uniquement appliqué les définitions et règles), ce devrait être juste. Si tu n'es pas sûr d'avoir seulement appliqué les règles et définitions, tu as perdu ton temps. Quelle est ta preuve ?

Cordialement.

[invited3a27037]

bonjour

Pourquoi affirmes-tu que ker(f) = {(0, 0, 0)} ?

ker(f) est un sous ensemble de R^4, il devrait contenir de(s) quadruplets, pas un triplet

[A voir en vidéo sur Futura]

[neo62950]

bonjour

Pourquoi affirmes-tu que ker(f) = {(0, 0, 0)} ?

ker(f) est un sous ensemble de R^4, il devrait contenir de(s) quadruplets, pas un triplet

oui desolé j'ai oublié un zero, mais il est noté sur ma feuille, c'est juste une erreur de frappe.

par contre effectivement j'ai une erreur de signe sur le kerf donc je corrige ca et je reviens

[invite9dc7b526]

par contre effectivement j'ai une erreur de signe sur le kerf donc je corrige ca et je reviens

mais quand-même tu devrais retenir ce qu'a dit God's Breath: une application linéaire d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m<n ne peut pas être injective. Ca te permettra de détecter ton erreur une prochaine fois.

[neo62950]

mais quand-même tu devrais retenir ce qu'a dit God's Breath: une application linéaire d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m<n ne peut pas être injective. Ca te permettra de détecter ton erreur une prochaine fois.

c'est deja noté


j'ai refais mon pivot de gauss, j'arrive a la matrice:

1 0 0 0
1 0 0
2 1

j'obtiens donc:

x = 0
y = 0
2z + t = 0

[neo62950]

donc ker(f) = {(0;0;-1/2;-2)}

par contre pour determiner la base du noyau??

edit:

non le ker(f) = (0 ; 0; -t/2; -2t) donc {(0; 0; -1/2; -2)} est une base de ker(f) ??

[gg0]

donc ker(f) = {(0;0;-1/2;-2)}

edit:
non le ker(f) = (0 ; 0; -t/2; -2t)

Ker(f) est un sous-espace vectoriel de R^4, donc ker(f) = {(0;0;-1/2;-2)} est évidemment faux, et ker(f) = (0 ; 0; -t/2; -2t) encore plus (ce n'est même plus un ensemble !!!
Fais très attention à ce que tu écris, ne pas écrire correctement interdit de penser correctement.

Cordialement.

[neo62950]

j' ai regardé une video d'une demonstration et il note la solution comme ker(f) = vect ((0; 0; -1/2; -2)), sauf que dans d'autre il marque de la meme facon que moi.

donc quel est la bonne notation? ker(f) est un ensemble, donc c'est ker(f): {(0; 0; -t/2; -2t)} ?? c'est les crochets qui represente l'ensemble du coup?

dans mon cours il marque que pour trouver la base de ker(f) il faut prendre un vecteur de ker(f) (enfin si j'ai bien compris) est il note bien que (0; 0; -1/2; -2t) est une base de ker(f). Je suis un peu perdu la, moi qui pensé avoir compris.

edit: ok, je viens de comprendre j'ai inversé les deux.

Donc ker(f) = {(0 ; 0; -t/2; -2t)} et (0; 0; -1/2; -2) est une base de ker(f)

[invite57a1e779]

Je ne sais pas comment tu pratiques le pivot de Gauss, mais personnellement, j'obtiens :



dont je déduis que la matrice est de rang 2, et que le noyau est l'ensemble des vecteurs tels que :



et j'obtiens une famille génératrice du noyau, constituée des vecteurs et ; il suffit de vérifier que cette famille génératrice est libre pour avoir une base du noyau.

[gg0]

Bonjour Neo62950.

ker(f) = vect ((0; 0; -1/2; -2))

C'est une bonne notation, puisque vect( ...) désigne un sous espace vectoriel. Si tu ne connais pas cette notation, vois un cours d'algèbre linéaire.

dans d'autre il marque de la meme facon que moi.

Je ne sais pas qui est il, mais ta notation était incorrecte de façon évidente.

dans mon cours il marque que pour trouver la base de ker(f) il faut prendre un vecteur de ker(f) (enfin si j'ai bien compris)

manifestement, tu n'as pas compris. Si on sait déjà que ker(f) est de dimension 1, il faut effectivement trouver un vecteur non nul de ker(f). Sinon, il faut chercher une base (voir un cours correctement rédigé).

est [ et ?] il note bien que (0; 0; -1/2; -2t) est une base de ker(f).

Si c'est ton prof qui a noté ça comme ça, il faut qu'il retourne à l'école ! (0; 0; -1/2; -2t) est une famille d'éléments de R, une base est suivant les façons de voir, un ensemble ou une famille (le plus souvent), cette famille (0; 0; -1/2; -2t) n'est pas une base de R. Et encore moins une base d'un sous-espace vectoriel de R^4.

Je m'interroge fortement : Travailles-tu sur un polycop de ton prof ? Ou as-tu noté à la volée ce qu'il écrivait ? Dans le deuxième cas, je comprendrais que tu as eu du mal à noter et que tu as noté de travers, dans le premier, je te plains d'avoir un prof aussi nul. Dans tous les cas, prends un cours d'algèbre linéaire pour L1 (voire même BTS/DUT), et relis l'ensemble du cours, pour vraiment comprendre de quoi on parle et quelles sont les notations. C'est urgent.

Donc ker(f) = {(0 ; 0; -t/2; -2t)}

Toujours incorrect. D'ailleurs, on ne sait même pas qui est t. Une écriture sérieuse serait par exemple "Donc

Cordialement.