Question un peu bête sur la continuité ?

[invite949a348a]

Bonsoir,

Dans cette démonstration du TVI : http://www.lyceedadultes.fr/sitepeda...Th_Val_Int.pdf

à la dernière étape de la démo, l'auteur invoque la continuité de f en c pour justifier que lim(n->+infini) f(an) = f(c).

De ce que j'ai compris, on utilise la limite de la composée en disant que lim (n->+infini) an = c d'où lim (n->+infini) f(an) = lim (n->+infini) f(c)

Or f est continue en c, et donc à part avec le "bon sens", je ne vois pas comment justifier que lim(n->+infini) f(c) = f(c)

Ma question est donc :

Quand on a une fonction continue en x, a-t-on bien comme je le pense lim (peu importe la condition) f(x) = x ?

Si oui, a-t-on besoin de davantage justifier ?

PS : le "peu importe la condition" m'intéresse beaucoup si j'ai juste
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[invite23cdddab]

La propriété utilisée est que si est continue et que la suite réelle converge, alors .

Pour démontrer cette propriété, il faut revenir à la définition de la continuité d'une fonction et à celle de la limite d'une suite.

[invite949a348a]

Merci Tryss2!

1) Mon explication était-elle cependant "raisonnable" ?

2) Cela m'intéresserait beaucoup d'avoir la démonstration de cette propriété, est-ce possible de l'avoir ? (Je comprendrais que ce soit trop lourd...)

Bonne nuit!

[invite23cdddab]

Ça me parait un bon exercice que tu le démontres toi.

Je vais te lancer : Quels sont les définitions de
1) "la fonction f est continue au point c"
2) "la suite converge vers c"
3) "la suite converge vers f(c)"

Une fois écrites proprement ces définitions, on n'est plus très loin du résultat

[A voir en vidéo sur Futura]