Majoration de (1+1/n)^n

[heyheyheyh]

Bonjour,

Je sais que lim (n-> +infini) (1+1/n)^n = e (en passant par (1+1/n)^n = e(ln(1+1/n)^n et le taux d'accroissement).

J'aimerais maintenant montrer que cette suite est majorée par e : en fait montrer que e tend vers e sans jamais "dépasser e".

Comment faire ?
-----

[God's Breath]

Bonjour,

La fonction logarithme népérien est concave, il est classique d'en déduire :



Par suite, pour tout entier naturel non nul :

[heyheyheyh]

Merci, j'ai compris les étapes, mais pas l'hypothèse : qu'est-ce que "concave" et qu'en déduit-on ?

[God's Breath]

Si tu ne sais ce qu'est une fonction concave, tu étudies les variations de la fonction :



et tu en déduis l'inégalité que j'ai donnée dans mon précédent message.
Cette inégalité est très classique et il faudrait absolument la connaître ainsi qu'une (ou plusieurs…) démonstrations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[heyheyheyh]

La fonction dérivée de ln(1+x) sur ]0,+infini[ est f'(x) = 1/(1+x), strictement positive sur ]0, +infini[, donc f est strictement croissante sur cet intervalle. Je ne vois pas le lien avec l'inégalité que tu as donnée.

[God's Breath]

Correction de la fonction à étudier :

[heyheyheyh]

Je me disais aussi

Ok, donc f'(x) = -x / (1+x) qui pour le coup est strictement négative sur l'intervalle considéré (0 est bien exclu), d'où la stricte décroissance de f.

D'où pour tout x de ]0,+infini[, f(x) inférieur ou égal à f(0) = 0 c'est à dire ln(1+x)-x inférieur ou égal à 0 d'où l'inégalité.

Sauf que, gros souci, je ne peux pas prendre x=0, f n'est pas définie en ce point :/

Edit : *on fait un prolongement par continuité en 0 peut-être ?
* ou bien on étudie dès le départ sur [0, +infini[ ?

[Kairn]

f est définie en 0 .
God's Breath a pris pour , mais ça marche aussi bien sur .

[heyheyheyh]

Ok, c'est bien ce qui me semblait

Merci beaucoup, ça a été rapide!

[Tryss2]

Sinon, méthode calculatoire pour les plus bourrins d'entre nous :



Mais , donc



Ainsi, en complétant la série :

[heyheyheyh]

Je trouve pas ça si bourrin que ça, l'argument (n-k)!n^k>n! est joli (d'ailleurs c'est strictement non ? j'ai pris papier crayon pour vérifier!)

Bon après, je sais pas ce qu'est une série, ni que la somme infinie vaut e ici, donc j'aurais pas pu faire ça :/

[joel_5632]

jolie démo Tryss

[Kairn]

(d'ailleurs c'est strictement non ? j'ai pris papier crayon pour vérifier!)

Pas si k=0

Bon après, je sais pas ce qu'est une série, ni que la somme infinie vaut e ici, donc j'aurais pas pu faire ça :/

En gros, la série de terme général est la suite des sommes des premiers termes de , c'est-à-dire la suite . On se demande en général si une série converge ou diverge, et donc on manipule des sommes infinies. Avec , ça converge vers , résultat que tu auras l'occasion de voir quand tu étudieras les séries.