convergence dans des espaces topologiques

[invite0731164c]

Bonjour

Si j'ai f: (X,T)->(X',T') une bijection entre deux espaces topologiques. Y-a-t'il une condition nécessaire et suffisante pour que si une suite xn converge dans (X,T) alors f(xn) converge dans (X',T'). est-ce que c'est trop fort de demander que f soit un homéomorphisme?
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[invite57a1e779]

Bonjour,

La continuité de f est une condition suffisante, mais non nécessaire. Donc exiger un homéomorphisme est trop fort.

Il serait bon de quantifier la suite convergente (x_n) : une suite fixée ? une suite quelconque ? …

[invite0731164c]

Bonjour.
xn est une suite quelconque.

[gg0]

C'est "soit xn, une suite quelconque" ou bien "quel que soit la suite xn" dans le premier cas, il n'y a pas besoin de grand chose sur f et ça dépend fortement de xn; dans le deuxième, tu demandes la "continuité séquentielle" de f, ce qui dans certains cas implique la continuité, mais pas toujours.

A noter : si T' est la topologie grossière, f est continue et toutes les suites convergent dans X' (mais la limite n'est pas unique). Il serait peut-être bon de limiter les types de topologies pôssibles.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]