convergence dans les espaces Lp

[invitedfa2fe89]

Bonjour,

J'ai une question par rapport la convergence dans les espaces Lp et je voudrais savoir si quelqu'un peut m'aider.

Soit un domaine borné et une suite de tel que dans . Comment on peut montrer que dans ?

Merci
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[invitec1ddcf27]

Bonjour,

ca a pas grand chose à voir avec les espaces L^p, c juste la continuite de la norme : par inégalité triangulaire renversée, tu as



qui tend vers zéro. Et donc



et en élevant à la puissance 4 (enfin mieux dit, composée des limites par la fonction x^4 , ou produit de limite, enfin l'argument que tu veux, c évident...), cela te donne




Omega borné n'est donc pas indispensable

[God's Breath]

Ce qui ne signifie pas que la suite converge vers dans .

On préférerait avoir .

[invitec1ddcf27]

autant pour moi, je me suis enflamé trop vite... d'ailleurs la question, je me la suis déja posé pour au lieu de 4. Et c'est pas si facile !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1ddcf27]

Pour p=2, c'est effectivement pas dur... pour p >1 , je pense (prudent... je l'ai pas encore rédigé) que ca marche en commencant par montrer l'estimation



pour tous x,y réels, et ou C> 0 est une constante indépendante de x et y .

[invitedfa2fe89]

Merci pour les réponses, en fait j'avais réussi jusqu'à ça, mais après j'arrive pas a montrer

[invitec1ddcf27]

je repense à ce truc en relisant un bouquin... effectivement, cela doit pourvoir s'obtenir avec l'inégalité que j'ai donnée plus haut, pour plus de détails, on peut méditer la preuve de lemme de Brezis-Lieb (par exple dans le livre de Kavian, introduction à la théorie des points critiques, page 10 )