Convergence Espaces de Fonctions

[james_83]

Bonjour à tous,

J'ai une petite question, quelque chose de très bête m'échappe.
Voila mon problème :
Soit E l'espace des fonctions continues de [-1, 1] dans C.
On munit E du produit scalaire (u, v) =Intégrale(u(t)*conjugué(v(t)) dt) sur [-1, 1].

On se donne la suite Un(x) = 1 sur [1/n, 1]
= nx sur [-1/n, 1/n]
= -1 sur [-1, -1/n]
On doit montrer que Un ne converge pas dans E.
Je remarque que Un converge simplement vers f = -1 sur [-1, 0]
=1 sur [0, 1].
f n'est pas dans E... donc c'est terminé ?
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[God's Breath]

Bonjour,

Si la suite converge vers dans , pourquoi devrait-elle converger simplement vers ?

Si l'on considère , la suite converge vers dans , mais ne converge pas simplement vers .

Il te faut donc montrer que, si TA suite converge vers dans , alors doit valoir sur et sur , ce qui est impossible.

[james_83]

Bonjour God's Breath,

Je te remercie pour ta réponse super rapide !!
J'ai supposé que ma suite convergeait vers une fonction u mais je ne suis pas arrivé à montré qu'alors nécessairement u = -1 sur... et u = 1 sur...
(je me retrouve avec des intégrales de u² et de u et je ne sais pas comment m'en sortir... si tu peux m'éclairer...)
Par contre, cette fonction u est dans L2, et j'arrive à montrer que Un converge vers U dans L2...
Comme la limite est unique, j'en déduis que si Un converge dans E (muni de la même norme que L2), alors elle converge nécessairement vers u.... mais u n'appartient pas à E.... est-ce que tu penses que ce raisonnement est correct ?

[God's Breath]

Par contre, cette fonction u est dans L2, et j'arrive à montrer que Un converge vers U dans L2...

Tout dépend du contexte dans lequel est posé cet exercice. As-tu vraiment la possibilité d'utiliser l'espace , ou bien l'exercice est-il posé uniquement dans le cadre des fonctions continues, sans théorie de l'intégration de Lebesgue ?

Autre problème : ou bien est un ensemble de classes de fonctions, et alors il te faut montrer que la classe de ne contient aucune fonction continue, ou bien est un ensemble de fonctions, mais il n'est pas séparé (tu ne disposes pas d'une norme) et tu n'as plus unicité de la limite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[james_83]

Je dois t'avouer que je ne m'étais pas posé toutes ces questions....
Pour la théorie de l'intégration, je pense qu'on a le droit, étant donné qu'à de nombreux exos, notre prof a utilisé l'espace L2 (notamment pour dire que l'ensemble des fonctions continues à support compact est dense dans L2)...
Mais je ne savais même pas (honte à moi!!) qu'il y avait deux définitions différentes, j'ai toujours vu L2(R) = {f fonctions mesurables de R dans C telles que Intégrale(|f|²)<infini } muni de la norme ||f||² = (Intégrale(|f|²)).
Je suis un peu perdu...

[God's Breath]

L2(R) = {f fonctions mesurables de R dans C telles que Intégrale(|f|²)<infini } muni de la norme ||f||² = (Intégrale(|f|²))

Si on définit par si et , on définit un élément non nul de , mais , ce qui est bizarre pour une norme.

L'espace ainsi défini n'est pas séparé, une suite peut avoir plusieurs limites.

Ta suite peut donc converger vers u qui n'est pas élément de E, mais pourrait avoir une autre limite qui soit élément de E...

[james_83]

D'accord je comprends la différence maintenant...merci beaucoup
La norme ||f||² = (Intégrale(|f|²) a donc un sens lorsque L2 est un ensemble de classe de fonctions (les fonctions égales presque partout).
Mais dans ce cas, il paraît évident que toute fonction équivalente à la fonction u définie précédemment est discontinue... je ne vois pas où partir pour démontrer une telle chose....

[God's Breath]

il paraît évident que toute fonction équivalente à la fonction u définie précédemment est discontinue

Oui, le problème est effectivement que la suite ne peut converger que vers une fonction v équivalente à u.

Supposons v continue.

S'il existe a>0 tel que v(a)≠1, alors on a v(x)≠1 sur un voisinage V de a, de mesure non nulle. Donc u≠v sur V, ce qui contredit que v est équivalente à u. On a ainsi montré par l'absurde que v=1 sur ]0,1].

On montre de la même façon que v=-1 sur [-1,0[.

On a un problème pour la continuité de v en 0.

On donc montré, par l'absurde, que toute fonction v, limite de la suite u(n), équivalente à u, est discontinue.

C'est toujours une très bonne chose de comprendre que ce n'est pas tout à fait pareil de travailler sur une «vraie» fonction, ou sur une classe de fonctions équivalentes.

[james_83]

Ce qui permet de conclure...

Je te remercie sincèrement God's Breath pour toutes tes réponses.