Laplace -> décomposition en éléments simples

[invited9a6e272]

Bonjour !

Alors voilà j'ai un soucis lors de la résolution d'une équation avec la transformé de la place. Et même de manière général je coince un peu sur la partie décomposition en élément simple qui revient quasiment à chaque fois. J'ai seulement appris en décomposant avec a/(x-x1) + b/(x-x2) +c(x-x3) sauf que par exemple dans le cas d'un exemple d'équation sur wikipedia
https://fr.wikipedia.org/wiki/Applic...3%A9rentielles
je n'arrive pas faire la décomposition, impossible de comprendre pourquoi...

Voilà ce que j'ai fais, j'ai ajouté un deuxième exemple où la aussi je bloque complètement. je trouve B=1 mais après on m'as toujours dit je remplacer p par une valeur sauf qu'il me restera les deux inconnus A et C...



Peut-on m'expliquer la méthode à utiliser ?
Merci beaucoup
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[Resartus]

Bonjour,
On peut en effet décomposer sur C, et regrouper les termes conjugués (ici on a forcément B conjugué de A et D conjugué de C puisque le résultat est réel).
mais perso, je préfère faire la décomposition sur R. Dans ce cas, quand on décompose une fraction contenant un terme du second degré non réductible, le numérateur est de la forme
ax+b. Ici donc on aurait à chercher une forme (ax+b)/(p²+4) +(cx+d)/(p²+4)²

Pour ce qui est de la résolution générale, il faut remettre le tout au même dénominateur, ici 'p²+4)² et identifier tous les coefficients du polynome au numérateur, ce qui donne bien 4 équations à résoudre, Méthode qui marche dans tous les cas. C'est seulement par hasard qu'on pourra comme vous l'avez fait trouver directement certains coefficients par "astuce".
Pour le deuxième exercice, la décomposition n'est possible qu'avec des polynomes (cela ne marche pas en général avec des racines). Ici, ce n'est possible que parce que en posant z=racine(x) on peut se ramener à un polynome en z, qu'on traitera comme vu précédemment

[Resartus]

PS : ceci dit, la décomposition en réel n'est pas très intéressante dans le cas 1, car la fraction est déjà sous sa forme réduite...

[invited9a6e272]

Merci pour votre réponse.

oui mais dans le cas 1, la décomposition permet de trouver plus facilement des transformées inverse de laplace non ?

J'ai essayé de mettre au même dénominateur mais je ne trouve que 2 équations et non pas 3, est-ce normal ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9a6e272]

Merci pour votre réponse.

2 équations et non pas 3, est-ce normal ?

Pièce jointe 317899

Et non pas 4*

[invited9a6e272]

A je viens de capter que c'est p et non x.

Mais du coup cela ne fonctionne pas puisque j'ai :
Ap^3 + Bp² + (4A+C)p + 4b + d
=>
A=0
B=0
4A+C=0
4B+D=2

=>A=B=C=0 et D=2

=> 2/(p²+4)² = 2/(p²+4)²

mais on reste dans les réels je crois que c'est ce que vous vouliez dire dans votre ancien message ?

[Resartus]

Bonjour,
Oui, c'est bien p que je voulais écrire. Désolé...

Effectivement, les tables qui donnent cette transformée de laplace ne sont pas très fréquentes. Voir celle-ci : http://tutorial.math.lamar.edu/pdf/Laplace_Table.pdf
(ligne 11)

Sans doute le fait de passer en complexe vous permettra-il de retrouver cette formule en effet, grâce aux exp(iat), texp(iat) et leurs conjugués?

[invited9a6e272]

merci je vais regarder ça !

Une autre question, comment je sais si dans la décomposition je dois mettre Ax+B ou simple A ?

Dans le deuxième exemple si sqrt(p) =Z alors

1/(Z (Z²-1)²) = A/ Z + B/(Z²-1) + (Cx+d)/(Z²-1)² ? parce que sur le premier exemple on a Ax+B/(p²+4) . Pourquoi pas simplement A ?

[stefjm]

Quand on a des pôles doubles, on utilise la propriété de dérivée coté p qui correspond à une multiplication par -t coté t.
C'est un cas ultra classique de résonance.
On met en entrée un sinus de même pulsation que la pulsation de résonance du circuit : on obtient le produit de 1/(4+p^2) correspondant à la fonction de transfert avec 1/(4+p^2) correspondant au signal.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...puissance_de_t

L'original est en t.(A.cos(2t) +B.sin(2t))

[invited9a6e272]

Wow. Je m’excuse mais j'ai absolument pas compris.

[stefjm]

Une autre question, comment je sais si dans la décomposition je dois mettre Ax+B ou simple A ?

On met ce qu'il faut pour que cela marche...Le calcul de la fraction donne pas mal de piste.

Première espèce A/(p+a)
Seconde espèce (Ap+B)/(p^2+ap+b)

Dans le deuxième exemple si sqrt(p) =Z alors
1/(Z (Z²-1)²) = A/ Z + B/(Z²-1) + (Cx+d)/(Z²-1)² ? parce que sur le premier exemple on a Ax+B/(p²+4) . Pourquoi pas simplement A ?

Z²-1 =(Z-1).(Z+1)

Vous avez quand même de drôles de méthodes pour décomposer en éléments simples...

[stefjm]

Wow. Je m’excuse mais j'ai absolument pas compris.

Pas compris quoi?

[invited9a6e272]

d'accord ! donc en fait au numérateurc'est un dégrée de moins qu'au dénominateur ?

je n'avais pas compris le lien avec pulsation mais c'est bon ^^

Ben pour le z c'est Resartus qui m'a conseillé de remplacer racine (p) par z. Mais par contre j'arrive à une décomposition un peu compliqué peut être pour effectuer la transformé inverse, voilà ce que j'ai :



mais du coup je ne vois pas vraiment comment trouver la TL-1 des deux dernières parties

[stefjm]

Je ne suis pas du tout à l'aise avec la transformée de Laplace de la fonction racine carrée.
Apparemment, cela fait intervenir la fonction d'erreur erf.

Solution alpha.

On retrouve assez logiquement du e^t et du t.e^t correspondant à 1/(p-1) et 1/(p-1)^2.

Je ne connais pas la règle avec la racine et la solution m'intéresse pour ma culture générale.

[invited9a6e272]

pour la racine carré , j'ai la formule :TL{ t^(a-1) u(t) } = Gamma(a) / p^a , avec Gamma(a) = (n-1)! et Gamma(1/2) = pi

Du coup, je dit que racine(p) = p^(1/2) donc, a =1/2.
1/2 - 1 = -1/2 , je suis sensé avoir alors t^(-1/2) soit 1/racine(t) mais pour faire la transformé inverse je doit avoir Gamma(1/2)/ p^(1/2) , donc
TL-1 {1/ p^(1/2) } =1/ [ Gamma(1/2) * t^(1/2) ] = 1/ racine (pi t)

[stefjm]

La racine carré toute seule ne pose pas de problème : On utilise la généralisation de t^n avec n réel et remplacement de n! par Gamma(n+1).

Par contre, je ne sais pas généraliser le produit de avec une fonction de p...

Peut être que gg0 sait?

[stefjm]

Je suis tombé sur cette bible que je ne connaissais pas du tout!

http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm

[gg0]

Bonjour.

La racine carré toute seule ne pose pas de problème : On utilise la généralisation de t^n avec n réel et remplacement de n! par Gamma(n+1).

Par contre, je ne sais pas généraliser le produit de avec une fonction de p...

Peut être que gg0 sait?

Non, je ne sais pas. Et la pseudo décomposition en éléments simples me paraît tout à fait douteuse.
A priori, le produit par la racine carrée peut se traiter avec une dérivation fractionnaire, si mon intuition est correcte, mais ça dépasse probablement le niveau de jerome0, et en tout cas, ça dépasse le mien !

Cordialement.

[stefjm]

Au départ, à moi non plus, la décomposition en éléments simples avec ne me plaisait pas du tout.
Et puis j'ai noté qu'Alpha trouvait le résultat, que les trois termes de la sommes correspondaient peu ou prou à ceux de la décomposition simple!

Concernant le , il y a pas mal de relations mais apparemment pas de règles générales.

@ jerome0
Pour l'exercice, il est faisable en utilisant la propriété 8 de http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliar...ns/LapInv3.pdf
Ce serait bien que jerome0 précise un peu le cadre de ce problème.

Cordialement.