espace vectoriel des polynômes

[invite90cb9b7c]

bonjour, je viens de passer mes exams d'algebre linéaire, et dire que ç a c'est très mal passé est un euphémisme... J'ai voulu reprendre le sujet à tête reposée mais je sèche sur l'énoncé depuis des heures... voici l'énnoncé :

Considérons R³[X] l'espace vectoriel des polynomes à coeff réels de degré inférieur ou égal à 3 muni de sa base canonique B = (1,X,X²,X³).
Soit l'espace vectoriel R4 muni de sabase canonique = (e1,e2,e3,e4).

on considére l'application définie par :



1. Montrer que est une application linèaire de dans
2. Déterminer le noyau Ker ()
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[Médiat]

Bonjour,

Et qu'avez-vous fait, où butez-vous ? La première question est absolument triviale, il suffit d'écrire les définitions ...

[invite90cb9b7c]

Je ne vois absolument pas quoi faire avec P(-1),P(0),P(1),P(2) pour justement appliquer la définition.

[Médiat]

Quelle est la définition de est une application linéaire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite90cb9b7c]

je comprend pas la signification de P->P(-1),P(0),P(1),P(2).

[Médiat]

Si vous avez un polynôme , on peut calculer et , qui sont bien des nombre réels.

est l'application qui a un polynôme fait correspondre un élément de

, qui est un quadruplet de réels, donc un élément de

[invite90cb9b7c]

d'accord, je commence à comprendre comment aborder le sujet, donc est ce que cette formulation est correcte pour la question 1?

(P1 +P2)= (P₁) + (P₂) pour tout P₁ et P₂ de R₃[X]
(kP) = k(P) pour tout P de R₃[X] et tout k appartenant à K scalaire

[Médiat]

Oui, c'est bien cela que vous devez démontrer

[invite90cb9b7c]

2.

il faut donc trouver les polynomes tels que p(-1)=p(0)=p(1)=p(2)=0
on pose P(X)=a0+a1X+a2X²+a3X³ et on résout un système pour trouver que le noyau de est le polynôme nul.
donc Ker()=0.

d'après le théorème du rang on déduit que le rang de =Dim R₃[X]=4
est donc un isomorphisme de r⁴

[gg0]

le message #7 ne répond pas à la question 1, qui reste à faire (démontrer, ce n'est pas copier les définitions avec les lettres de l'énoncé).

Cordialement.

[invite90cb9b7c]

oui j'en ai tout à fait conscience , mais la démonstration ne posant en elle même pas de difficultés majeures je suis passé à la question suivante.
Pour la question 3. On demande d'écrire la matrice M de dans les bases B et C . Et que peut on dire de M?

M est la matrice dont les vecteurs colonnes sont l'image par des vecteurs de la base de départ B, exprimée dans la base d'arrivée C :


est ce juste? Par contre je vois pas ce qu'on peut dire de M???

[gg0]

Ok pour la 1.

Pour la 3, vu que est un isomorphisme ...

Cordialement.

[invite90cb9b7c]

on en déduit le rang M =4?
Et sinon est ce que la matrice vous parait correcte, j'ai un doute. Pour les composantes du premier vecteur colonne, j'ai appliqué p(-1), p(0),p(1),p(2) avec P(x)=1, pour les composantes du deuxiéme vecteur colonne la même chose avec p(x)=x ect ect. La démarche est elle correcte?

[Kairn]

Salut !

La matrice a l'air correcte.
Tu peux effectivement en déduire rg(M)=4, ou, autrement dit, M est inversible.