espace vectoriel des polynômes
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espace vectoriel des polynômes



  1. #1
    inki999

    espace vectoriel des polynômes


    ------

    bonjour, je viens de passer mes exams d'algebre linéaire, et dire que ç a c'est très mal passé est un euphémisme... J'ai voulu reprendre le sujet à tête reposée mais je sèche sur l'énoncé depuis des heures... voici l'énnoncé :

    Considérons R³[X] l'espace vectoriel des polynomes à coeff réels de degré inférieur ou égal à 3 muni de sa base canonique B = (1,X,X²,X³).
    Soit l'espace vectoriel R4 muni de sabase canonique = (e1,e2,e3,e4).

    on considére l'application définie par :



    1. Montrer que est une application linèaire de dans
    2. Déterminer le noyau Ker ()

    -----

  2. #2
    Médiat

    Re : espace vectoriel des polynômes

    Bonjour,

    Et qu'avez-vous fait, où butez-vous ? La première question est absolument triviale, il suffit d'écrire les définitions ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    inki999

    Re : espace vectoriel des polynômes

    Je ne vois absolument pas quoi faire avec P(-1),P(0),P(1),P(2) pour justement appliquer la définition.

  4. #4
    Médiat

    Re : espace vectoriel des polynômes

    Quelle est la définition de est une application linéaire ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    inki999

    Re : espace vectoriel des polynômes

    je comprend pas la signification de P->P(-1),P(0),P(1),P(2).

  7. #6
    Médiat

    Re : espace vectoriel des polynômes

    Si vous avez un polynôme , on peut calculer et , qui sont bien des nombre réels.

    est l'application qui a un polynôme fait correspondre un élément de

    , qui est un quadruplet de réels, donc un élément de
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #7
    inki999

    Re : espace vectoriel des polynômes

    d'accord, je commence à comprendre comment aborder le sujet, donc est ce que cette formulation est correcte pour la question 1?

    (P1 +P2)= (P1) + (P2) pour tout P1 et P2 de R3[X]
    (kP) = k(P) pour tout P de R3[X] et tout k appartenant à K scalaire

  9. #8
    Médiat

    Re : espace vectoriel des polynômes

    Oui, c'est bien cela que vous devez démontrer
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  10. #9
    inki999

    Re : espace vectoriel des polynômes

    2.

    il faut donc trouver les polynomes tels que p(-1)=p(0)=p(1)=p(2)=0
    on pose P(X)=a0+a1X+a2X²+a3X³ et on résout un système pour trouver que le noyau de est le polynôme nul.
    donc Ker()=0.

    d'après le théorème du rang on déduit que le rang de =Dim R3[X]=4
    est donc un isomorphisme de r4

  11. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : espace vectoriel des polynômes

    le message #7 ne répond pas à la question 1, qui reste à faire (démontrer, ce n'est pas copier les définitions avec les lettres de l'énoncé).

    Cordialement.

  12. #11
    inki999

    Re : espace vectoriel des polynômes

    oui j'en ai tout à fait conscience , mais la démonstration ne posant en elle même pas de difficultés majeures je suis passé à la question suivante.
    Pour la question 3. On demande d'écrire la matrice M de dans les bases B et C . Et que peut on dire de M?

    M est la matrice dont les vecteurs colonnes sont l'image par des vecteurs de la base de départ B, exprimée dans la base d'arrivée C :


    est ce juste? Par contre je vois pas ce qu'on peut dire de M???

  13. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : espace vectoriel des polynômes

    Ok pour la 1.

    Pour la 3, vu que est un isomorphisme ...

    Cordialement.

  14. #13
    inki999

    Re : espace vectoriel des polynômes

    on en déduit le rang M =4?
    Et sinon est ce que la matrice vous parait correcte, j'ai un doute. Pour les composantes du premier vecteur colonne, j'ai appliqué p(-1), p(0),p(1),p(2) avec P(x)=1, pour les composantes du deuxiéme vecteur colonne la même chose avec p(x)=x ect ect. La démarche est elle correcte?

  15. #14
    Kairn

    Re : espace vectoriel des polynômes

    Salut !

    La matrice a l'air correcte.
    Tu peux effectivement en déduire rg(M)=4, ou, autrement dit, M est inversible.

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