Bonjour tous le monde! J'ai essayer de répondre à ce problème irrésolu: "existe t-il un nombre parfait impair?", et je suis parvenu à sortir quelques chose qui est sans doute faux^^ Mais du moins travailler dessus m'a amuser et j'aimerais aller plus loin sur ce problème qui m’intéresse avec vous
Bon rentrons dans le vif du sujet, voila ce que j'ai pondu x) :
Admettons qu'un tel nombre n existe*:
O(n) = 2n, comme n impair alors O(n) est pair et non divisible par 4 soit*:
<=> O(n) = 2(2k+1) avec k appartenant à N
<=> O(n) = 4k+2
Décomposons n*:
n = Pr1^a1 * Pr2^a2 .. Pr^a avec Pr un nombre premier différent de 2
Alors O(n) = O(Pr1^a1) * O(Pr2^a2) * … * O(Pr^a)
<=> O(n) = (1 + Pr1 + Pr1^2 + .. Pr1^a1)(1 + Pr2 + Pr2^2 + .. Pr2^a2)...(1 + Pr + Pr^2 + .. Pr^a)
Nous remarquons qu'il faut au moins un a qui soit impair pour que O(n) soit pair ( les Pr sont tous impairs et la somme de pair-terme impair donne un nombre pair). Démonstration*:
a + 1 = nombre de termes d'une addition où le résultat de cette addition est un terme du produit de O(n). et on veut que*:
a + 1 = 2v avec v appartenant à N
<=> a = 2v – 1 donc a doit bien être impair.
De plus, il ne peut y avoir un autre a impair sinon O(n) serait divisible par 4, absurde car n impair.
Disons que a1 est le a impair, que 1 + Pr1 + Pr1^2 + .. +Pr1^a1 = V et que (1 + Pr2 + Pr2^2 + .. Pr2^a2)...(1 + Pr + Pr^2 + .. Pr^a) = D
Alors nous avons*:
O(n) = 2( Pr1^a1 * Pr2^a2 .. Pr^a )
<=> V * D = 2( Pr1^a1 * Pr2^a2 .. Pr^a )
<=> (V/2) * D = Pr1^a1 * Pr2^a2 .. Pr^a
Admettons que D = Pr1^a1 alors V = 2*Pr2^a2 .. Pr^a donc nous avons*:
O(D) = V
<=> (Pr1^(a1+1) – 1)/(Pr1 – 1) = V
<=> ((D * Pr1) – 1)/(Pr1 – 1) = V
<=> (D * Pr1) – 1) = V*(Pr1-1)
<=> (D * Pr1) = V*(Pr1-1) + 1
<=> D = V*(Pr1-1) + 1 / Pr1
D*V = (V*(Pr1-1) + 1 / Pr1) * V
<=> D*V = V²*(Pr1-1) + 1 / Pr1
Absurde car D*V est paire alors que V²*(Pr1-1) + 1 / Pr1 est impair.
Reprenons (V/2) * D = Pr1^a1 * Pr2^a2 .. Pr^a
On remarque que D > Pr2^a2 *...* Pr^a et que Pr1^a1 / 2 < V/2 donc D est entre 1 et 2 fois plus grand que Pr2^a2 *.. *Pr^a. On a aussi*: Pr1^a1 divise D car Pr1 ne divise pas V. Et D>Pr1^a1 car D ne peux pas être égal à Pr1^a1 .
Alors nous avons*:
D = Pr2^a2 .. Pr^a * un nombre compris entre un et deux
<=> Pr1^a1*q = Pr2^a2 .. Pr^a * (1 + 1/x) avec q > 1 appartenant à N et x >1 appartenant à R
<=> Pr1^a1*q = Pr2^a2 .. Pr^a + ((Pr2^a2 .. Pr^a) / x)
<=> Pr1^a1 = ((Pr2^a2 .. Pr^a)/q) + ((Pr2^a2 .. Pr^a) / xq) Ont sait que q divise Pr2^a2 .. Pr^a car*:
(V/2) * D = Pr1^a1 * Pr2^a2 .. Pr^a
<=> (V/2) * Pr1^a1 = (Pr1^a1 * Pr2^a2 .. Pr^a)/q
<=> V/2 = (Pr2^a2 .. Pr^a)/q
et comme (V/2) et (Pr2^a2 .. Pr^a) sont des entiers naturel alors q divise bien Pr2^a2 .. Pr^a
Donc q, x et xq divise Pr2^a2 .. Pr^a en entier naturel car Pr1^a1 et q sont des entiers naturels, donc x est un entier naturel. Or c'est absurde car on a ((Pr2^a2 .. Pr^a)/q) et ((Pr2^a2 .. Pr^a) / xq) impair et la somme de 2 nombres impairs donne un nombre pair, or Pr1^a1 est impair.
Donc il n'existe pas de nombre parfait impair.
Voila, avec ma dernière phrase un peu prétentieuse mais qui est juste la pour conclure à mes recherche qui ont sans doute des erreurs je rappelleEt merci ^^
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Envoyé par Boarf 