[spé-maths] nombre parfait

[invite1adebb8b]

bonjour a tous,

Voila un petit exercice qui me pose probleme :

Si un nombre a s'écrit 2^n(2^(n+1)-1) et si (2^(n+1)-1) est premier, alors a est nombre parfait. La somme de ces diviseur est égale a 2a).

La décomposition en produit de facteur premier est donc:
a=2^n(2^(n+1)-1)

1)En déduire la liste des diviseurs de a
2)Demontrer que a est un nombre parfait

Pour la 1 g trouver : 2^n(2^(n+1)-1) avec n {0;1;2;...;n}

Pour la 2) je n'arrive pas a prouver que la somme des diviseur est egale a 2a donc a 2^(2n+2)-2n.
Je n'arrive pas a manipuler la somme en fait.

Si quelq'un a une idée...
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[invite1adebb8b]

Personne pour m'aider?

[Médiat]

Pour la 1 g trouver : 2^n(2^(n+1)-1) avec n {0;1;2;...;n}

Vous auriez dû écrire :
Pour la 1 j'ai trouvé : avec .

Mais ceci est faux (incomplet, en tout cas), puisque vous n'avez pris en compte que les diviseurs de n qui sont aussi des multiples de



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Médiat, pour la modération.

[invite1adebb8b]

Vous auriez dû écrire :
Pour la 1 j'ai trouvé : avec .

Mais ceci est faux (incomplet, en tout cas), puisque vous n'avez pris en compte que les diviseurs de n qui sont aussi des multiples de



]

desolée je n'ai pas tres bien saisi

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Raisonne sur un cas concret et tu verras comment ça déroule.
Prends n=2, ce qui donne le nombre 28.
Les diviseurs seront 1, 2 et 4 et les mêmes nombres multipliés par 7 (nombre premier), soit 7x1, 7x2, 7x4
Tu additionnes et tu trouves 28.
Pas difficile de généraliser. Dans ce cas, la liste des diviseurs est très simple à établir et leur somme aussi.

[invite1adebb8b]

Donc si je ne me trompe pas pour n=n, la listee des diviseurs de :
2^n[2^(n+1)-1] seront :
n avec n{0;1;...;n}
2^n avec n{0;1;...;n}
2^(n+1)-1 avec n {0;1;...;n}
avec la somme de ces derniers:
n+2^n+2^(n+1)-1 pour n{0;1;...;n)

Est-ce bon?

[invite1adebb8b]

non je me suis trompé :
la liste est:
2^n avec n{0;1;...;n}
2^(n+1)-1 avec n{0;1;...n}

[Médiat]

Vous n'avez pas bien lu ma réponse, car votre écriture : 2^n avec n{0;1;...n} n'a aucun sens, puisque n y joue 2 roles.

[invite1adebb8b]

donc la liste c'est:
n
2^n
2^(n+1)-1
avec n{0;1;...;n}
?

[Médiat]

Vous ne pouvez pas utiliser la même variable, ici n, pour 2 choses différentes, regardez mon premier post !

[invite1adebb8b]

je comprend vraiment pas

[invite1adebb8b]

j comprend pas quand vous dite que n y joue deux roles: c'est seulement un terme mis en puissance . c'est pas 2 FOIS n

[invite1adebb8b]

un peu d'aide svp

[invite1adebb8b]

je pense avoir trouvé quelque chose: la liste est:
2^k k{0;1;...;n}
2^(n+1)-1 n{0;1;...;n}
2^k(2^(n+1)-1) n{0;...;n}
k{0;...;n}

[Médiat]

Vous ne pouvez pas écrire pour n dans {0,1, ... n}, ça n'a pas de sens !

2^k k{0;1;...;n} : Ca, c'est bon.

[invite1adebb8b]

je remplace n par c et je marque c {0;...;n} c'est bon?

[Médiat]

Reprenons : je vous ai donné dans mon premier post la liste des diviseurs ayant supposé premier, comme facteur : avec .

Il manquait ceux n'ayant pas comme facteur : et dans votre avant dernier mail vous avez proposé avec (vous aviez mis k, mais c'est pareil).

Pour vous en convaincre, il suffit d'écrire où p est premier, les diviseurs sont donc les nombres de la forme où et .

Il vous reste à ajouter tous ces diviseurs.

[invite1adebb8b]

Donc la liste est:
2^i i{0;...;n}
[2^(k+1) -1] k{0;...;n]
2^i[2^(k+1)-1] i{0;...;n] et k{0;...;n]

[Médiat]

Non !

Relisez mes messages, toutes les réponses y sont

[invite1adebb8b]

2^k k{0;...;n}
2^k(2^(n+1)-1) k{0;...;n}

C'est bon?

[Médiat]

Oui, il ne vous reste qu'à les additionner pour avoir votre réponse.

Vous allez avoir besoin de connaître la formule donnant la somme des premiers termes d'une suite géométrique.

[invite1adebb8b]

c'est donc
1-q^n+1
S=a* _______
1-q^n

a=1
q=2^n(2^n+1-1)
?

[invite1adebb8b]

La raison est bien q=2^n(2^(n+1)-1)?

[invite1adebb8b]

non attedez je me suis trompé: d'apres moi q=2

[Médiat]

C'est mieux !

[invite1adebb8b]

et a et bien égale a 1 ?

[invite1adebb8b]

car avec a=1 je tombe sur 1 pour la somme -_-'

[invite1adebb8b]

Je pense que a est different de 1

[invite1adebb8b]

Un peu d'aide svp