Vecteurs linéairement dépendants

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Pouvez vous m'aider pour cette question svp ? :

Établir, par récurrence que :
:
la famille : est linéairement dépendants.

Merci d'avance.
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[invitecbade190]

Excusez moi, je corrige l'énoncé :

Établir, par récurrence que :
linéairement indépendants:
la famille : est linéairement dépendants.

Merci d'avance.

[invitecbade190]

Je suis étourdi, je m'excuse :
Puisque : , alors : est linéairement dépendant. Ce qui achève le problème.

[invitecbade190]

Bonjour à tous,
Une autre question si je peux me permettre :
Soit :
Soient , vecteurs colonnes avec : .
- Comment construire algorithmiquement une matrice carrée : telle que : : ?
- même question lorsque : .
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Prendre pour A la matrice nulle.

Si on veut essayer de l'éviter, définir E, le sev engendré, puis en prendre une base, compléter et construire la matrice qui convient.

C'est bien de commencer à apprendre les cours de bac+1 d'algèbre linéaire !

[invitecbade190]

Bonjour gg0 :

Merci de m'avoir répondu à cette question : ( Oublie la dispute de l'autre jour en mp, moi je n'ai rien contre toi, c'est toi qui me poursuis tout le temps )
Pour ce qui est de définir le sous espace engendré , il faut lui trouver une base avec bien sûr toujours : , mais, je ne sais pas construire cette base, on m'a dit d'appliquer la méthode de Gauss, mais je ne comprends pas encore ce que vient faire la méthode de Gauss ici. Pouvez vous m'aider un peu plus svp ?

Merci d'avance.

[gg0]

Voir ça dans un cours d'algèbre linéaire de L1/L2. Tu peux aussi construire la matrice des coefficients des vecteurs, et chercher un mineur de déterminant maximal non nul. La méthode de Gauss optimise cette recherche.
Un conseil : Essaie sur des exemples avec n=3 ou 4 pour comprendre ce que tu calcules.

Cordialement.

[invite6bfdf32a]

Je suis étourdi, je m'excuse :
Puisque : , alors : est linéairement dépendant. Ce qui achève le problème.

Minute papillon.
Pour n=2 ça ne marche pas, on obtient la famille: (v1-v2) qui est libre.
Ensuite je ne sais pas si on a le droit de parler de cardinal. On parle de rang d'une famille, ou de dimension d'un EV.

Pour n=3 on a la famille:
B={(v1-v2),(v1-v3),(v2-v3)} qui est liée et pourtant on a n=3 éléments!

Pour n=4 on a la famille:
B={(v1-v2),(v1-v3),(v1-v4),(v2-v3),(v2-v4),(v3-v4)} cette fois on a une famille de 6 vecteurs dans un ev de dimension 4: donc la famille est génératrice, mais pas libre.

Il faut ensuite prouver que si la propriété est vraie pour n, elle l'est pour n+1 ie: pour un ev de dimension n, la famille B aura toujours un nombre de vecteurs > n, et donc sera liée.