Limite de suite

[Yamata1]

Bonjour,

J' ai beaucoup de mal à répondre à cette question :

Soit E un espace vectoriel normé. Soient k éléments (k 2) de E. On complète la suite() par la relation de récurrence suivant :


Prouver la convergence de la suite () , et déterminer sa limite.

Pour la convergence on m'a conseillé de faire ceci :

si E est de dimension finie il est complet ...

montrer que :

1/ tous les termes de la suite sont dans l'enveloppe convexe des k premiers termes
2/ cette enveloppe convexe est compacte
3/ il existe une sous-suite convergente
4/ la suite est de Cauchy


Pour la limite on peut utiliser cette formule apparemment
puis vérifier que est constante
puis je n' arrive pas à m' en servir pour calculer la limite de

Merci d'avance pour vos suggéstions.
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[invitecbade190]

Bonsoir :

Soit l'enveloppe convexe défini par :
Pour la première question, tu établir par récurrence que , : .

Cordialement.

[Yamata1]

Merci chentouf j ' ai la réponse ,comme est constante:





donc par la somme d' une suite arithmétique :