Vrai ET faux à la fois, est-ce possible en mathématiques ?

[karlp]

Merci infiniment pour ces précisions !
(je vais jeter un œil aux deux fils que vous me suggérez)
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[andretou]

Cependant, est-ce qu'éventuellement une proposition telle que "il y a exactement autant de nombres pairs que d'entiers naturels" pourrait être à la fois vraie et fausse indépendamment du cadre dans lequel on se place ?
La théorie des ensembles a en effet rigoureusement établi que cette proposition est vraie.
Mais :
1/ si l'on considère que l'ensemble N des entiers naturels est constitué du sous-ensemble P des nombres pairs et du sous-ensemble I des nombres impairs,
2/ alors si l'ensemble N a autant d'éléments que l'ensemble P, cela implique que l'ensemble I est vide,
3/ or l'ensemble I des nombres impairs n'est pas vide,
4/ donc la proposition "il y a exactement autant de nombres pairs que d'entiers naturels" est fausse...

De ce fait, la proposition "il y a exactement autant de nombres pairs que d'entiers naturels" serait à la fois vraie et fausse.
Ce raisonnement est-il à votre avis correct, ou contient-il une erreur ?

Salut,

Et cette notion erronée conduit à énoncer le point 2 "alors si l'ensemble N a autant d'éléments que l'ensemble P, cela implique que l'ensemble I est vide" qui est incorrect.

Un ensemble infini (en espérant ne pas dire de bêtise) est un ensemble qui peut être mis en bijection avec certains de ses parties propres. Cela suffit à montrer que le point 2 ne peut pas être correct. (et on peut compléter en signalant que les nombres pairs sont justement une telle partie)

L'argument bijectif entre P et N invalide en effet mon raisonnement.
Aussi je souhaiterais explorer un autre raisonnement légèrement différent :

1/ si l'on considère que l'ensemble N des entiers naturels est constitué du sous-ensemble P des nombres pairs et du sous-ensemble I des nombres impairs, et tel que Card(N) = Card(P) + Card(I) ;
2/ alors, si le cardinal de l'ensemble N est égal au cardinal de l'ensemble P, cela implique
3/ donc a priori Card(I) a pour solution n'importe quelle valeur comprise entre 0 et ;
4/ or l'ensemble I des nombres impairs n'étant pas vide, son cardinal ne peut donc pas être égal à 0 ;
5/ puisque l'hypothèse en 2/ "le cardinal de l'ensemble N est égal au cardinal de l'ensemble P" autorise Card(I) = 0, cette hypothèse n'est donc pas valable...

Pouvez-vous SVP m'indiquer quelle est l'erreur (il y en a forcément une, évidemment), si possible avec bienveillance ?
Merci d'avance

[ansset]

Card(N)=Card(P)=Card(I) et aussi


les opérations arithmétiques sur les cardinaux ne sont pas les mêmes pour les ensembles infinis.......

[andretou]

Andretou epuis le temps que tu parles de cette " loi de composition des Cardinaux" qui n'existe pas, et qui est (si je comprends bien) que pour deux ensembles finis d'intersection vide, leur réunion a pour nombre d'éléments la somme des nombres d'éléments des deux ensembles
Et justement, cette règle élémentaire concerne les ensembles qui ont un nombre d'éléments, les ensembles finis. Et ne peut pas s'appliquer pour des ensembles infinis, qui n'ont pas de nombre d'éléments.

Si la loi en effet toute bête de composition des cardinaux est valable pour les ensembles finis, et pas valable pour les ensembles infinis (ne serait-ce qu'en mode soustractif), alors comment doit-on faire pour les ensembles dont on ne sait pas s'ils sont finis ou infinis ???

[andretou]

Card(N)=Card(P)=Card(I) et aussi


les opérations arithmétiques sur les cardinaux ne sont pas les mêmes pour les ensembles infinis.......

L'hypothèse de départ se réduit à N = P U I, et Card(N) = Card(P) =
On ne donne pas de valeur a priori pour Card(I).
En posant Card(N) = Card(P) = , on autorise, entre autres, Card(I) = 0, ce qui est absurde.

[ansset]

tu as un exemple en tête.?
je suppose ( sans trop m'avancer ) que si un tel ensemble est indéterminé sur ce point, on cherche d'abord à voir si, ou dans quelle mesure, on pourrait lever cette indétermination.
A défaut, je suppose qu'on se garde bien de "jouer" avec son cardinal.

[ansset]

L'hypothèse de départ se réduit à N = P U I, et Card(N) = Card(P) =
On ne donne pas de valeur a priori pour Card(I).
En posant Card(N) = Card(P) = , on autorise, entre autres, Card(I) = 0, ce qui est absurde.

non, c'est ta déduction qui est absurde.
d'ailleurs on prouve aisément que Card(I)=

[andretou]

non, c'est ta déduction qui est absurde.
d'ailleurs on prouve aisément que Card(I)=

Je te rassure, je sais évidemment que Card(I)=.
Mais dans ce raisonnement j'ai fait le choix de fixer Card(N) et Card(P) et de voir ce que devient Card(I) en fonction de Card(N) et de Card(P). Mathématiquement rien ne m'en empêche, a priori...

[andretou]

Si la loi en effet toute bête de composition des cardinaux est valable pour les ensembles finis, et pas valable pour les ensembles infinis (ne serait-ce qu'en mode soustractif), alors comment doit-on faire pour les ensembles dont on ne sait pas s'ils sont finis ou infinis ???

tu as un exemple en tête.?
je suppose ( sans trop m'avancer ) que si un tel ensemble est indéterminé sur ce point, on cherche d'abord à voir si, ou dans quelle mesure, on pourrait lever cette indétermination.
A défaut, je suppose qu'on se garde bien de "jouer" avec son cardinal.

Par exemple l'ensemble de tous les théorèmes mathématiques (incluant les théorèmes déjà découverts, ceux non encore découverts et ceux qui existent mais qu'on ne découvrira jamais).

[Médiat]

C'est une version généralisée du théorème des tiroirs

[gg0]

Andretou:

comment doit-on faire pour les ensembles dont on ne sait pas s'ils sont finis ou infinis (#94)

En maths, on ne "doit" jamais, on n'est jamais obligé; comme de plus, il arrive souvent qu'on ne puisse pas faire, on fait ce qu'on peut (appliquer les règles si ça sert).
Si A et B sont des ensembles dont on ne connaît pas le cardinal, quel est le cardinal de AUB ? Question idiote ? Oui, tout à fait, et analogue à la tienne. Mais je sais pourquoi tu la posais, tu penses encore à la soustraction, c'est à dire aux cardinaux finis. Et justement, il y avait des cardinaux infinis.

En fait, tu n'acceptes pas vraiment que les cardinaux infinis ne suivent pas les règles auxquelles tu es habitué. Pourtant, c'est tout à fait normal !! Dans la vie courante, tu rencontrerais quelqu'un qui veut appliquer en mer les règles de circulation routières, tu le prendrais pour un débile; alors pourquoi te permets-tu de penser autrement sous prétexte que c'est des maths.

Et finalement, tu perds ton temps, alors qu'explorer la théorie des cardinaux et celle des ordinaux peut être passionnant. Et la surprise, c'est qu'on va conserver certaines règles sur les ensembles finis.

Cordialement.

[andretou]

C'est une version généralisée du théorème des tiroirs

Il tombe bien ce théorème, merci Mediat.

Ainsi, si on a Card(N) = et Card(P) = , alors on autorise Card(I) = 0, ce qui est absurde.
Comment se sortir de ce paradoxe ?

[ansset]

tu interprète mal ce qui est écrit qui est une formule générale qcq soit B
tu appliquer cette formule avec un ensemble B vide, avec un ensemble fini non vide comme B:{1,2,...,n}, ou avec B=I
c'est une simple implication qui encadre le Card(B) , mais qui en rien ne donne "l'autorisation" de choisir la valeur que l'on veut.
en l'occurrence Card(I)=.
il n'y a pas de contradiction.
c'est un drôle de raisonnement que celui là.

[Médiat]

Comment se sortir de ce paradoxe ?

En étudiant la théorie des ensembles et même plus généralement la logique.

[Deedee81]

Salut,

En étudiant la théorie des ensembles et même plus généralement la logique.

Et aussi en rejetant tout préjugé sur ce qu'est une "quantité" (comme un cardinal) sur la signification de "addition" (qui n'est pas toujours l'addition habituelle).
Parfois pour apprendre il faut désapprendre !

[Médiat]

Bonjour,

Parfois pour apprendre il faut désapprendre !

C'est la principale règle, bien réjouissante, que j'ai apprise en étudiant la logique.

[invite82078308]

Bonjour très cher karlp,

Vous avez raison, le bon ordre n'est pas significatif pour un cardinal.

Il y a plusieurs façons de considérer un cardinal : comme une classe d'équipotence par exemple, mais le plus simple c'est de considérer que le cardinal associé à une classe d'équipotence est le plus petit ordinal (qui existe) de cette classe d'équipotence, ainsi un cardinal est bien un ordinal (mais particulier, et certaines opérations ne fonctionnent plus) et donc on peut utiliser les propriétés des familles d'ordinaux (comme ma réponse à minushabens).

C'est comme pour toutes les relations d'équivalence pour lesquelles les classes ont un représentant particulier facile à définir.

Quand on travaille dans la théorie des ensembles, il est agréable que les cardinaux soient des ensembles, ce qui permet d'en parler.
Pour utiliser la notion de classe, on se place dans la théorie des classes de Neumann-Bernays-Gödel.

Quelle théorie des ensembles ? on peut le faire dans ZFC, la théorie de Zermelo ou la théorie ZF sont insuffisantes il me semble pour parler de cardinal en général.
Définir la notion de cardinal dans cette théorie demande un certain travail (on passe par la théorie ordinale), c'est pourquoi je préfère souvent de parler de cardinalité, qui est une propriété des ensembles plutôt que de cardinal quand je peux ne pas recourir à cette notion.
Un principe d'économie.

PS :"Certaines opérations ne fonctionnent plus" je dirais plutôt que certaines opérations ne fonctionnent pas de la même façon, d'où l'utilisation des oméga et des aleph pour noter ordinaux et cardinaux pour éviter les ambigüités.

[Médiat]

Pour utiliser la notion de classe, on se place dans la théorie des classes de Neumann-Bernays-Gödel.

La notion de classe d'équivalence n'a pas besoin de NBG, c'est parfaitement définissable dans ZF ; j'ai l'impression que vous confondez ces deux notions de "classe".

Quelle théorie des ensembles ? on peut le faire dans ZFC, la théorie de Zermelo ou la théorie ZF sont insuffisantes il me semble pour parler de cardinal en général.

On peut parfaitement définir la notion de cardinal dans ZF, mais c'est beaucoup plus complexe et surtout beaucoup moins riche que dans ZFC (grâce au théorème de Zermelo, dans ZFC, on peut garantir que tout ensemble possède un cardinal)

PS :"Certaines opérations ne fonctionnent plus" je dirais plutôt que certaines opérations ne fonctionnent pas de la même façon.

Dans la mesure où un cardinal peut être vu comme un ordinal, on peut toujours appliquer toutes les opérations ordinales sur cet ordinal, mais elle peut très bien ne pas avoir de sens pour le cardinal (en tant que classe d'équivalence). Par exemple l'exponentiation au sens ordinal n'a aucun sens pour un cardinal, je préfère dire que cette exponentiation ne fonctionne pas pour les cardinaux, plutôt que de donner une définition totalement différente et dire que c'est la même opération qui fonctionne différemment (l'exponentiation ordinale et l'exponentiation cardinale sont totalement différentes).

[andretou]

Parfois pour apprendre il faut désapprendre !

J'adore ça !!!
N'est-ce pas exactement ce qu'enseigne un certain Maître Ioda à son élève dans "L'Empire contre-attaque" ?!...

[invite82078308]

La notion de classe d'équivalence n'a pas besoin de NBG, c'est parfaitement définissable dans ZF ; j'ai l'impression que vous confondez ces deux notions de "classe".

On peut parfaitement définir la notion de cardinal dans ZF, mais c'est beaucoup plus complexe et surtout beaucoup moins riche que dans ZFC (grâce au théorème de Zermelo, dans ZFC, on peut garantir que tout ensemble possède un cardinal)

Dans la mesure où un cardinal peut être vu comme un ordinal, on peut toujours appliquer toutes les opérations ordinales sur cet ordinal, mais elle peut très bien ne pas avoir de sens pour le cardinal (en tant que classe d'équivalence). Par exemple l'exponentiation au sens ordinal n'a aucun sens pour un cardinal, je préfère dire que cette exponentiation ne fonctionne pas pour les cardinaux, plutôt que de donner une définition totalement différente et dire que c'est la même opération qui fonctionne différemment (l'exponentiation ordinale et l'exponentiation cardinale sont totalement différentes).

Je prendrai l'exemple suivant:
D'aprés la définition classique des cardinaux par les ordinaux, on a : ℵ₀ = ω, le plus petit ordinal infini.
On sait que ℵ₀=ℵ₀+1 .
Peut-on en déduire que ω=ω+1 ? bien entendu, non ! Le symbole + ne désigne pas ici la même opération, et c'est le fait qu'on parle de cardinaux ou d'ordinaux qui détermine de quelle opération on parle.
Le sens des symboles, dans l'usage courant des mathématiques peut dépendre du contexte. Il serait déraisonnable de vouloir un signe d'addition différent pour chaque type d'addition.

A part ça, il me semble qu'en théorie des ensembles, les énoncés ne portent que sur les ensembles, et les classes d'équipotence ne sont pas des ensembles.

[Médiat]

Le symbole + ne désigne pas ici la même opération

C'est bien ce que je dis.

A part ça, il me semble qu'en théorie des ensembles, les énoncés ne portent que sur les ensembles, et les classes d'équipotence ne sont pas des ensembles.

Si la relation porte sur un ensemble les classes d'équivalence sont des ensembles, c'est si on veut parler d'une relation d'équivalence sur la classe de tous les ensembles que les classes d'équivalence ne sont pas (généralement, en tout cas) des ensembles.

[Médiat]

Quand on travaille dans la théorie des ensembles, il est agréable que les cardinaux soient des ensembles

Je reviens sur ce point, car c'est le point important : je suis évidemment d'accord avec cela (c'est la seul façon de les manipuler dans ZFC), néanmoins il faut avoir en tête que la source est bien la classe d'équipotence, ce qui justifie que certaines opérations sur les ordinaux ne passent pas aux cardinaux

[invite82078308]

Pour les classes d'équivalence de la relation d'équipotence, à part la classe d'équipotence de l'ensemble vide, je ne vois pas à priori d'ensemble.
Un petit exercice est de montrer que la classe des ensembles possédant un unique élément n'est pas un ensemble, il suffit d'un coup d'axiome dans ZF, dans Zermelo il me semble qu'il suffit de bricoler un peu.

P.S : Je suis d'accord sur le fait qu'avec des théories moins puissantes que ZFC, on peut définir une notion de cardinal mais que celle-ci est limitée.

[Médiat]

Pour les classes d'équivalence de la relation d'équipotence, à part la classe d'équipotence de l'ensemble vide.

C'est bien au cas auquel je pensais en écrivant "généralement"

[karlp]

Je profite de ces questions pour oser en poser une qui paraîtra sans doute très naïve.

Je n'ai pas de difficulté avec la notion d'équipotence; en revanche, ce que j'ai pu lire sur la notion de "classe d'équipotence" reste très confus dans mon esprit parce que j'ignore ce qu'est une "classe" (et je lis ci dessus qu'il y a plusieurs acceptions du terme) et je n'ai pas trouvé sur le net d'explication à ma portée.
Je suis tenté d'interprété ce terme comme équivalent à la notion naïve d'ensemble (et non un "ensemble" au sens de ZF) ?

J'ai une autre question : peut-on dire que "oméga" est "plus petit" que "omega+1" bien qu'ils aient le même cardinal ?

Merci d'avance

[Médiat]

Bonjour très cher karlp

Je suis tenté d'interprété ce terme comme équivalent à la notion naïve d'ensemble (et non un "ensemble" au sens de ZF) ?

Oui (quand on parle de "classe" et non de "classes d'équivalence", même si celles-ci sont parfois des classes, le vocabulaire est donc un peu dangereux)

J'ai une autre question : peut-on dire que "oméga" est "plus petit" que "omega+1" bien qu'ils aient le même cardinal ?

Oui, les ordinaux sont ordonnés et pour cet ordre

[karlp]

Encore merci très cher Médiat !!!

(ps: j'ai consulté les deux fils suggérés :j'ignore malheureusement presque tout du concept de compacité et ne puis suivre ce que Grothendieck voulait dire. Je ne manquerai pas en revanche l'ouvrage sur "Groebius" (jeu de mot avec Moebius ?) - dès que j'aurai terminé les ouvrages en cours de lecture)

[invite82078308]

Je profite de ces questions pour oser en poser une qui paraîtra sans doute très naïve.

Je n'ai pas de difficulté avec la notion d'équipotence; en revanche, ce que j'ai pu lire sur la notion de "classe d'équipotence" reste très confus dans mon esprit parce que j'ignore ce qu'est une "classe" (et je lis ci dessus qu'il y a plusieurs acceptions du terme) et je n'ai pas trouvé sur le net d'explication à ma portée.
Je suis tenté d'interprété ce terme comme équivalent à la notion naïve d'ensemble (et non un "ensemble" au sens de ZF) ?

J'ai une autre question : peut-on dire que "oméga" est "plus petit" que "omega+1" bien qu'ils aient le même cardinal ?

Merci d'avance

En théorie "naïve" une propriété des ensemble définit un ensemble, à p on peut associer un ensemble qui est celui des ensembles possédant cette propriété.
C'était le cas de la théorie originelle des ensembles de Cantor.
Toutefois, cela conduisit à des contradiction. Cherchez "paradoxe de Russel"!
Il fallut donc concevoir de nouvelles théories. Dans ZF, on a des axiomes qui permettent de montrer que tel ensemble vérifiant telle propriétés existe.

Les classes, par contre peuvent être constituées des ensembles vérifiant telle propriété, par exemple être équipotent à tel ensemble, mais elles n'ont pas toutes les propriétés qu'on peut attribuer aux ensembles. La question devient "telle classe est elle un ensemble ? " .

Dans des domaines où l'intuition peut être trompeuse, il faut se placer dans le cadre de théorie éprouvées pour dire des choses incontestables.

[andretou]

En étudiant la théorie des ensembles et même plus généralement la logique.

ok, je vous crois sur parole si vous me dites qu'il n'y a pas de paradoxe. Face à ce qui reste donc pour moi le paradoxe de la généralisation du théorème des tiroirs et des chaussettes appliqué aux ensembles des nombres pairs et impairs, je reconnais volontiers ne pas maîtriser suffisamment la théorie des ensembles et la logique pour le résoudre par moi-même.

Mais je n'ai peut-être pas dit mon dernier mot !...
Si, par extraordinaire, j'arrivais à donner un exemple rigoureux de proposition mathématique qui soit à la fois vraie ET fausse, et à condition naturellement que vous la reconnaissiez comme telle, seriez-vous prêts, les intervenants de ce fil (Médiat, Deedee, Dynamix, gg0, Schrody, ansset, karlp, et tous ceux qui voudraient parier) à m'offrir une bonne bière ???...

[Médiat]

[HS]

(ps: j'ai consulté les deux fils suggérés :j'ignore malheureusement presque tout du concept de compacité et ne puis suivre ce que Grothendieck voulait dire.

Sans faire de mathématiques, un ensemble est compact si quelque soit la façon de le "décrire" avec des "objets élémentaires", y compris en nombre infinis on peut en extraire une sous-description finie ; bien sûr, dans un cadre précis, celui de la topologie, les termes que j'ai mis entre guillemets ont reçu une définition mathématique précise.

Je ne manquerai pas en revanche l'ouvrage sur "Groebius" (jeu de mot avec Moebius ?)

Oui, absolument