Vrai ET faux à la fois, est-ce possible en mathématiques ?

[Médiat]

Si, par extraordinaire, j'arrivais à donner un exemple rigoureux de proposition mathématique qui soit à la fois vraie ET fausse, et à condition naturellement que vous la reconnaissiez comme telle, seriez-vous prêts, les intervenants de ce fil (Médiat, Deedee, Dynamix, gg0, Schrody, ansset, karlp, et tous ceux qui voudraient parier) à m'offrir une bonne bière ???...

Et si vous n'y arrivez pas ? Personnellement je préférerais un Richebourg, ou, à la rigueur, un Château Suduiraut (je garde un bon souvenir du 76)
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[gg0]

Si, par extraordinaire, j'arrivais à donner un exemple rigoureux de proposition mathématique qui soit à la fois vraie ET fausse, et à condition naturellement que vous la reconnaissiez comme telle, seriez-vous prêts, les intervenants de ce fil (Médiat, Deedee, Dynamix, gg0, Schrody, ansset, karlp, et tous ceux qui voudraient parier) à m'offrir une bonne bière ???...

On attendra tranquillement ! D'ailleurs, ce serait formidable, car ça permettrait de rectifier et améliorer la logique et les mathématiques. Mais j'attends de voir (des annonces comme ça, il y en a toutes les semaines sur les forums, sans résultat.

Cordialement.

[Deedee81]

Si, par extraordinaire, j'arrivais à donner un exemple rigoureux de proposition mathématique qui soit à la fois vraie ET fausse, et à condition naturellement que vous la reconnaissiez comme telle, seriez-vous prêts, les intervenants de ce fil (Médiat, Deedee, Dynamix, gg0, Schrody, ansset, karlp, et tous ceux qui voudraient parier) à m'offrir une bonne bière ???...

Pour le principe, oh oui, je viendrais. Mais j'ai pas vraiment envie de me taper les Yvelines
Ceci dit, on n'est pas si loin, et si tu fais un saut dans la région de Charleroi, je suis tout à fait prêt à t'offrir une bierre (quel que soit celui qui a raison)
(ou lundi après-midi, à Namur, c'est le fêtes de Wallonie, on a automatiquement dispense de service => allez hop, quelques bons péquets Et on pourrait parler math... ou de tout autre chose)

[ansset]

andretou peut déjà s'amuser avec les signatures de certains intervenants qu'il cite. !
je cherche ce que je pourrais parier en échange ( la bière c'est pas ou plus mon truc du tout ).

[invite82078308]

Je profite de ces questions pour oser en poser une qui paraîtra sans doute très naïve.

Je n'ai pas de difficulté avec la notion d'équipotence; en revanche, ce que j'ai pu lire sur la notion de "classe d'équipotence" reste très confus dans mon esprit parce que j'ignore ce qu'est une "classe" (et je lis ci dessus qu'il y a plusieurs acceptions du terme) et je n'ai pas trouvé sur le net d'explication à ma portée.
Je suis tenté d'interprété ce terme comme équivalent à la notion naïve d'ensemble (et non un "ensemble" au sens de ZF) ?

J'ai une autre question : peut-on dire que "oméga" est "plus petit" que "omega+1" bien qu'ils aient le même cardinal ?

Merci d'avance

Je vais essayer de présenter la chose de façon intuitive:
(je suis ambivalent sur les intuitions : il y en a de bonnes et de mauvaises)
Par définition:
ω = {0,1,2,3,4 ...}
presque par définition:
ω+1 = ω U {ω} c'est à dire {0,1,2,3,4 ... ω}
donc ω+1 possède un élément infini, ce qui n'est pas le cas de ω . Ces deux ordinaux ne sont donc pas égaux.
De même ω+2 = {0,1,2,3,4 ... ω, ω+1 } etc
ω 2 = {0,1,2,3,4 ... ω, ω+1,ω+2,ω+3 ... }

Bien entendu, tout cela peut être exprimé de façon rigoureuse.

Bon, pour avoir une idée intuitive de l'exponentiation d'ordinaux ...

[invite82078308]

P.S. Vous pouvez aussi constater que les structures d'ordre dans ω , ω+1 etc ne sont pas isomorphes.

[invite82078308]

Un petit résultat :
Les ordinaux dénombrables sont isomorphes comme ensembles ordonnés à une partie de (ℝ, ⩽) . (C'est en fait vrai pour les ensembles totalement ordonnés dénombrables).
Et réciproquement, les sous ensembles ordonnés bien ordonnés de (ℝ, ⩽) sont dénombrables, donc isomorphes à un ordinal fini.
(Preuve dans:https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order)

D'où peut-être la difficulté à se représenter intuitivement des ordinaux non dénombrables.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour le principe, oh oui, je viendrais. Mais j'ai pas vraiment envie de me taper les Yvelines

Et pourquoi donc ?!

Check this out:

https://www.google.fr/search?q=yveli...+de+versailles

https://www.google.fr/search?q=yveli...lines+tourisme

https://www.google.fr/search?q=yveli...elines+paysage


Cordialement

[andretou]

Alors voila, je lâche les chevaux...
Je fais appel à votre indulgence sur les signes "=" utilisés parfois en lieu et place de "tend vers", mais a priori ça ne devrait pas trop porter préjudice à la démonstration, laquelle s'appuie sur le théorème de réarrangement de Riemann.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ent_de_Riemann

1/ Considérons la série harmonique alternée S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5... (oui, je sais, Médiat va hurler qu'on ne doit en principe pas additionner plus de 2 nombres à la fois, mais pas de soucis, on va s'intéresser uniquement au résultat du théorème)
2/ S est une suite dont la série associée est semi-convergente.
3/ Donc, selon le théorème de réarrangement de Riemann, par permutation des termes on peut faire converger S vers n'importe quel réel.
4/ On peut donc attribuer arbitrairement à S toutes les valeurs que l'on veut : choisissons par exemple S = 1 et S = -1
5/ Posons S = x
6/ Soit (A) la proposition : x = 1
7/ Soit (B) la proposition : x = -1
8/ Si (A) est vraie (et le théorème de Riemann nous dit que (A) est vraie), alors x = 1 ; mais si x = 1, alors x <> -1, donc (B) est nécessairement fausse car dans le système d'équations considéré (x = 1 et x = -1) on ne peut pas avoir en même temps x = 1 vrai ET x = -1 vrai ;
9/ Inversement, si (B) est vraie (et le théorème de Riemann nous dit que (B) est vraie), alors (A) est nécessairement fausse pour la même raison ;
10/ les propositions (A) et (B) sont donc à la fois vraies ET fausses ! Chaque proposition prise individuellement est en effet vraie, mais dés lors qu'elle est déclarée vraie, chaque proposition rend de facto l'autre proposition fausse.
11/ bien fraîche pour moi, la bière, svp...

[PlaneteF]

11/ bien fraîche pour moi, la bière, svp...

Tu n'auras même pas un verre d'eau ... Relis le théorème de réarrangement de Riemannn.

Cordialement

[Laodice]

"Un cercle est un polygone." est une proposition mathématiques à la fois vraie et fausse.

Vraie
car l'aire du cercle (et de facto la valeur de pi) est déterminée de manière empirique par un polygone régulier à une infinité de côtés et de nombre pair de côtés.

Fausse
car un polygone régulier à i côtés (i étant impair) ne peut inscrire un polygone régulier à p côtés (p étant paire) de manière homogène et vice versa, or un polygone i ou d inscrit un cercle de manière homogène.

[gg0]

Laodice, ce que tu écris est vrai et faux. Tu es satisfait ?

Mais ce ne sont pas des mathématiques, seulement du baratin (en maths, un polygone est clairement défini, un cercle aussi).

Désolé.

[Médiat]

(oui, je sais, Médiat va hurler qu'on ne doit en principe pas additionner plus de 2 nombres à la fois, mais pas de soucis, on va s'intéresser uniquement au résultat du théorème)

Ben si, soucis, puisque vous venez de démontrer que j'ai parfaitement raison de condamner cette écriture qui vous amène à écrire n'importe quoi (et en plus vous avez mal compris ce que j'ai écrit, additionner 3 ou même 321543213543214354351435432 nombres ne me pose aucun problème)

CQFD

[PlaneteF]

Bonjour,

@andretou, je vais expliciter mon message précédent :

Ce qui t'a manifetement échappé dans le lien Wikipédia que tu as donné c'est que la suite et la suite sont deux suites différentes et l'on a donc à faire à deux séries diffférentes. D'ailleurs il y a une phrase dans l'exemple qui dit ceci, je cite : "Conclusion : la permutation choisie est telle que la nouvelle série converge vers la moitié de la somme de la série de départ."

Maintenant, peut-être à ta décharge, tu t'es focalisé sur le texte d'introduction qui lui pour le coup n'est pas suffisamment précis puisqu'il dit, je re-cite : "(...) d'après lequel si une série à termes réels est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, ou même tende vers plus ou moins l'infini".

Il faudrait plutôt écrire : "d'après lequel si une série à termes réels est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour avoir une nouvelle série qui converge vers n'importe quel réel, ou même tende vers plus ou moins l'infini".


N.B. : Finalement tu auras quand même un verre d'eau, car je pars du principe que l'on ne refuse pas un verre d'eau, ... par contre ce sera de l'eau chaude, cela pour l'ensemble de ton oeuvre


Cordialement

[PlaneteF]

(...) et l'on a donc à faire à deux séries diffférentes (...)

Ou plutôt "affaire" !?

[Médiat]

Bonjour PlaneteF

Ou plutôt "affaire" !?

Ou : "et l'on a donc à faire avec deux séries différentes" (avec 2 f seulement )

[PlaneteF]

Salut Médiat,

(avec 2 f seulement )

Pffffffffffffff

[invite82078308]

Finalement, vrai et faux à la fois, c'est possible et ce n'est pas difficile, il suffit de travailler dans une théorie inconsistante.

[Médiat]

Bonjour Schrodies-cat,

D'où (entre autres) mes réticences à utiliser le vocabulaire Vrai/Faux dans le cadre d'une théorie, et à le réserver à un modèle, où le problème ne se pose même pas.

[invite82078308]

Il faut souvent reformuler les questions pour qu'elles aient un sens :
Peut on avoir une proposition démontrable dont la négation soit également démontrable ?
Dans deux théories différentes, oui !
Dans une théorie inconsistante , oui !
Cela répond il me semble assez bien à la question.

[Laodice]

Je suis content.

[invite82078308]

Alors voila, je lâche les chevaux...
Je fais appel à votre indulgence sur les signes "=" utilisés parfois en lieu et place de "tend vers", mais a priori ça ne devrait pas trop porter préjudice à la démonstration, laquelle s'appuie sur le théorème de réarrangement de Riemann.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ent_de_Riemann

1/ Considérons la série harmonique alternée S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5... (oui, je sais, Médiat va hurler qu'on ne doit en principe pas additionner plus de 2 nombres à la fois, mais pas de soucis, on va s'intéresser uniquement au résultat du théorème)
2/ S est une suite dont la série associée est semi-convergente.
3/ Donc, selon le théorème de réarrangement de Riemann, par permutation des termes on peut faire converger S vers n'importe quel réel.
4/ On peut donc attribuer arbitrairement à S toutes les valeurs que l'on veut : choisissons par exemple S = 1 et S = -1
5/ Posons S = x
6/ Soit (A) la proposition : x = 1
7/ Soit (B) la proposition : x = -1
8/ Si (A) est vraie (et le théorème de Riemann nous dit que (A) est vraie), alors x = 1 ; mais si x = 1, alors x <> -1, donc (B) est nécessairement fausse car dans le système d'équations considéré (x = 1 et x = -1) on ne peut pas avoir en même temps x = 1 vrai ET x = -1 vrai ;
9/ Inversement, si (B) est vraie (et le théorème de Riemann nous dit que (B) est vraie), alors (A) est nécessairement fausse pour la même raison ;
10/ les propositions (A) et (B) sont donc à la fois vraies ET fausses ! Chaque proposition prise individuellement est en effet vraie, mais dés lors qu'elle est déclarée vraie, chaque proposition rend de facto l'autre proposition fausse.
11/ bien fraîche pour moi, la bière, svp...

La langue française, y compris quand on l'utilise pour parler des mathématiques permet de produire des énoncés contradictoire.
Ce n'est pas le cas quand on utilise un langage mathématique rigoureux.
Jusqu'à preuve du contraire.
Mais si il faut compter sur vous pour apporter une telle preuve, je crains que la "bière" qu'il faudra vous fournir ne soit pas exactement ce que vous entendez.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Mise_en_bière

[andretou]

Ben si, soucis, puisque vous venez de démontrer que j'ai parfaitement raison de condamner cette écriture qui vous amène à écrire n'importe quoi (et en plus vous avez mal compris ce que j'ai écrit, additionner 3 ou même 321543213543214354351435432 nombres ne me pose aucun problème)

Si je savais utiliser les signes spéciaux sur ce traitement de texte, au lieu d'écrire S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5... , j'aurais employé la formule S = "somme de n=0 à l'infini de (-1) à la puissance n sur n+1", et le problème d'écriture que vous invoquez pour invalider ma démonstration n'aurait pas eu de fondement.

J'en déduis donc qu'en remplaçant S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5... par S = "somme de n=0 à l'infini de (-1) à la puissance n sur n+1", vous êtes d'accord avec ma démonstration.

[gg0]

Ou plutôt "affaire" !?

On a affaire à 2 choses différentes et on a à faire à paris (sous-entendu "quelque chose à faire") : On a des rapports avec 2 choses différentes et on a une action à exécuter à Paris.

Cordialement.

[PlaneteF]

J'en déduis donc qu'en remplaçant S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5... par S = "somme de n=0 à l'infini de (-1) à la puissance n sur n+1", vous êtes d'accord avec ma démonstration.

Bien évidemment que non, ta démonstration ne tient pas la route une seule seconde, et je t'ai expliqué pourquoi en message#134.

Tu lis les messages ?

Cdt

[Médiat]

Si je savais utiliser les signes spéciaux sur ce traitement de texte, au lieu d'écrire S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5... , j'aurais employé la formule S = "somme de n=0 à l'infini de (-1) à la puissance n sur n+1", et le problème d'écriture que vous invoquez pour invalider ma démonstration n'aurait pas eu de fondement.

J'en déduis donc qu'en remplaçant S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5... par S = "somme de n=0 à l'infini de (-1) à la puissance n sur n+1", vous êtes d'accord avec ma démonstration.

Décidément vous ne comprenez rien de ce que l'on vous dit, c'est fatigant.

[andretou]

Décidément vous ne comprenez rien de ce que l'on vous dit, c'est fatigant.

En principe, un mathématicien digne de ce nom n'est-il pas capable de démontrer ce qu'il affirme ?
Si vous affirmez que ma démonstration #129 (reformulée #143) est fausse, alors il vous appartient de le prouver, et je vous serai alors reconnaissant de m'avoir montré mon erreur.
Sinon, j'attends ma petite bière bien fraîche...

[Médiat]

Si vous affirmez que ma démonstration #129 (reformulée #143) est fausse, alors il vous appartient de le prouver,

Faites des mathématiques, c'est à dire des démonstrations, et on en reparlera.

[andretou]

Faites des mathématiques, c'est à dire des démonstrations, et on en reparlera.

Je ne comprends pas. S'il y a une erreur dans ma démonstration, il ne vous coûte rien de me la montrer.
Vous ne voulez pas me la montrer ? Pourquoi ?

[PlaneteF]

Bonjour,

En principe, un mathématicien digne de ce nom n'est-il pas capable de démontrer ce qu'il affirme ?
Si vous affirmez que ma démonstration #129 (reformulée #143) est fausse, alors il vous appartient de le prouver, et je vous serai alors reconnaissant de m'avoir montré mon erreur.

Je te renvoie une nouvelle fois au message #134 qui t'indique où est ton erreur --> Tu n'as tout simplement pas compris le théorème de réarrangement de Riemann et donc ta façon de l'appliquer est complétement à côté de la plaque. Ce qu'il faut que tu comprennes c'est que le réarrangement produit une série différente et donc ton raisonnement tombe complément à l'eau.

Sinon, j'attends ma petite bière bien fraîche...

Ben non toujours pas, ... pour cette contribution c'est toujours un verre d'eau chaude pour toi !


Cordialement