Limite et primitive difficile

[invite8241b23e]

Bonsoir !

J'ai la limite suivante à calculer. J'ai la réponse, mais j'avoue complètement bloquer ! Je dois faire un changement de variable j'imagine, mais lequel ?



Bref, je suis preneur de toute piste ! ^^

Bonne soirée !
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[gg0]

Bonjour.

Ma première idée a été "tiens c'est une dérivée", en utilisant une primitive F de la fonction f: t-->(1-tan(2t))^(1/t) prolongée par continuité par 1 en 0 : On veut la limite de 1/x(F(x)-F(0))=(F(x)-F(0))/(x-0).

Cordialement

[Omnitrix]

Bonsoir,

Tu pourrais factoriser, tu aurais une expression beaucoup plus simple à primitiver...

[invite8241b23e]

Salut !

Ma première idée a été "tiens c'est une dérivée", en utilisant une primitive F de la fonction f: t-->(1-tan(2t))^(1/t) prolongée par continuité par 1 en 0 : On veut la limite de 1/x(F(x)-F(0))=(F(x)-F(0))/(x-0).

Donc, au final, la limite de (F(x)-F(0))/(x-0) = f(0) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8241b23e]

Salut !

Tu pourrais factoriser, tu aurais une expression beaucoup plus simple à primitiver...

Factoriser par quoi ?

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous ;

Malheureusement invite19431173 cette intégrale ne peut s’exprimer par des fonctions usuelles est par conséquent l'utilisation des méthodes numérique est efficace ou des logiciels de calcule .

Cordialement

[gg0]

Salut !
...
Donc, au final, la limite de (F(x)-F(0))/(x-0) = f(0) ?

Oui, c'est dire 1. N'est-ce pas ta réponse ?

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Je trouve plutôt

[invite8241b23e]

Bonjour,

Je trouve plutôt

Effectivement, la réponse est e^(-2), mais je ne vois absolument par pourquoi...

[gg0]

Effectivement,

la valeur qu'il faut prendre est et pas 1. Je ne sais pas trop ce que j'ai fait hier, d'autant que j'avais sous-traité le calcul à Maple !
Donc le principal problème est de voir que la convergence de l'intégrale se justifie par prolongement par continuité en voyant que
, ce qui permet d'utiliser la fonction f et une primitive F et de reconnaître une dérivée.
Pour cette limite, pour ma part, je passe toujours en exponentielle :
avec
et la question à résoudre est la limite de g en 0. Comme

On trouve que la limite est -2.

Cordialement.

[invite8241b23e]

Heu...

Bon, je crois que je n'ai pas le niveau pour résoudre cette limite/intégrale finalement.

Je ne comprends pas le :

la convergence de l'intégrale se justifie par prolongement par continuité

Et toute la suite !

On est bien d'accord, je remets en question mon niveau en mathématiques, par la clarté des réponses apportées.

Merci quand même

[Seirios]

Bonjour,

Le premier problème est de comprendre pourquoi l'intégrale est bien définie, car la fonction n'est a priori pas définie en zéro. Une possibilité est de poser , puis de vérifier qu'avec cette valeur la fonction que l'on obtient est continue, et en particulier intégrable. Ensuite, en reconnaissant un taux d'accroissement, comme il a déjà été dit, on trouve que la limite vaut .

[invite8241b23e]

J'y suis arrivé, merci !!!

Y 'avait beaucoup plus de calculs que ce que je pensais... ^^

Merci à tout le monde !