Dérivée seconde d'une double intégrale

[invite8241b23e]

Bonsoir !

Je bute sur un exercice, encore une fois... J'ai la réponse, mais ne comprends pas du tout comment y arriver :



J'ai cherché dans les primitives usuelles, j'ai tenté un changement de variable, bref, je suis totalement bloqué.

Merci !
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[Resartus]

Bonjour,
Il n'y a aucun besoin de calculer explicitement la primitive...

Pour la première dérivation %x, pas de problème, car la borne supérieure d'intégration en dt est x, donc la dérivation redonne la fonction sous le signe somme.
Pour se ramener à la même situation pour la seconde dérivation, il faut faire le changement de variable v=sin(u), pour que la borne supérieure devienne du x au lieu de sin(x).

PS : ces deux exercices me semblent assez originaux, car ils reposent sur l'astuce et pas sur la force brute.
Pourrais-tu nous dire d'où ils viennent? Peut-être de l'URSS où ils aimaient bien poser ce genre de colles dans les examens d'entrée

[invite8241b23e]

Salut !

OK, donc si j'ai bien compris, je peux faire "sauter" la première dérivation et l'intégrale en dt.

Il me reste donc :



Mais j'avoue que je me perds dans le changement de variable quand tu écris :

Pour se ramener à la même situation pour la seconde dérivation, il faut faire le changement de variable v=sin(u), pour que la borne supérieure devienne du x au lieu de sin(x).

Entre les v, les u, les x (et puis il n'y a plus de t ?), n'y a-t-il pas un erreur, ou est-ce moi qui comprends mal ? Ou sint est devenu sinx ?

Sinon, ces exercices viennent d'un livre incroyablement bien fait : "Analyse, concepts et contextes. Volume 1. Fonction d'une variable" De Stewart. Les explication sont d'une limpidité incroyable, et là, je viens de faire le chapitre sur les intégrales, où l'on a vu plein d'astuces possible, et là, je m'entraine, et je vois qu'il le faut !

[Amanuensis]

Salut !

OK, donc si j'ai bien compris, je peux faire "sauter" la première dérivation et l'intégrale en dt.

Il me reste donc :

Dans cette formule, la fonction à dériver ne dépend pas de x, le résultat serait 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
Si on appelle f(t) la fonction de t qui vaut somme(racine(1+u^4)du de 0 à sin(t), t disparait dans l'intégration, qui donne F(x)-F(0) (F primitive de la fonction f ) , puis quand on dérive cela, c'est f(x) qui apparait. Donc la borne supérieure est maintenant sin(x)

[invite8241b23e]

OK, donc j'ai :



Là, je comprends, vos explications sont très claires.

C'est le changement de variable que je ne comprends pas trop. Parce que si je pose v = sin(u), je vois pas ce que ça change pour la borne supérieur de l'intégrale ? Puis que le changement de variable n'inclut pas x.

Et surtout, ça veut dire que u = arcsin (v) et ça m'a l'air coton pour la suite ? J'ai mal compris ?

[albanxiii]

OK, donc si j'ai bien compris, je peux faire "sauter" la première dérivation et l'intégrale en dt.

et remplacer par ...
Quand on est entre physiciens, on peut le dire comme ça. Mais si un mathématicien voit ça il va faire une syncope

[Resartus]

Bonjour,
Si tu préfères le retrouver autrement, ,on peut appeler g la fonction racine(1+u^4) et G sa primitive.
On a donc G(sin(x))-G(0) à dériver par rapport à x. On utilise la formule de la dérivée pour une fonction composée, soit cos(x).g(sin(x)

Cela revient à faire le changement de variable sans le dire

[invite8241b23e]

Merci !

C'est beaucoup plus clair !

Bonne journée !