Encore une intégrale

[invite8241b23e]

Bonjour !

Bon, je bloque à nouveau sur une intégrale :



Les changements de variable que j'ai essayés : u = x², u = x³, u = 1+x⁶, et rien n'y fait.

J'ai l’impression qu'il faudrait que je fasse apparaître une forme qui donne une primitive du type arctan, mais je sèche...

Bonne journée !
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[invite7c2548ec]

Bonjour à tous ;

Une idée si on décomposée la fraction en fractions partielles car le dénominateur de cette fraction , peut se mettre en facteur ;

Cordialement

[invitecbade190]

Bonjour,

est ce qu'il est autorisé d'appliquer le théorème des résidus dans ce problème ?

[Resartus]

Bonjour,
Peut-être les méthodes de TopMath ou chentouf marcheraient-elles.
Pour ma part, il me semble plus simple de perseverer sur la piste du changement de variable : u=x^3 marche bien, et donne somme 1/3.(u^2/(1+u^2)^2
qui se ramène par décomposition en éléments simples à des 1/(1+u^2) et 1/(1+u^2)^2
Le premiere intégrale est connue, la seconde un peu moins (soit la trouver dans une table, soit à faire par intégration par parties)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Il y'a aussi une autre astuce plus simple Resartus :

Si on regarde bien l'intégrande, on peut aussi espérer trouver une fonction telle que : , ça aboutit à une équation différentielle de premier ordre à coefficients qui dépendent de , qu'il faut chercher à résoudre à l'aide de la méthode des variations de la constante. L'équation différentielle que je trouve, prend la forme suivante : .

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :

Salut Chentouf :

Bonjour,

est ce qu'il est autorisé d'appliquer le théorème des résidus dans ce problème ?

A mon avis on ne peut pas utiliser le théorème dit des résidus pour deux raisons simple la première l'intégrale peut s’exprimer par des fonctions usuelles le résultat est là borner puits le passage à la limite , deuxièmement le calcule des intégrale par la méthode des résidus lorsque tous les moyen sont épuiser parmi les condition d'utilisation de ce théorème les bornes de cette intégrale soi de ou si dans l'intégrale et paire dans se cas précis on peut aussi le calculer lorsque les bornes sont .

Mais là dans l'énoncé on vois clairement que l'intégrale est borner de et par conséquent l'utilisation de ce théorème n'est pas utile .

Cordialement

[invitecbade190]

Topmath :

Il est possible de ramener l'intervalle : à l'intervalle : en appliquant un petit changement de variables : , non ? et ainsi, on est capable de procéder par la formule des résidus, non ?

[invite7c2548ec]

Peut être Chentouf mais là cette intégrale est calculable par des fonctions usuelles .

Cordialement

[invite8241b23e]

Merci à tous !

[invite51d17075]

coucou,
pour éviter un evt pb à venir , commencer par voir la symétrie entre -1 et 0 et 0 et 1 et ramener à

pour la fonction

que l'on peut intégrer par IPP ( deuxième partie u'/u²)
il reste une intégrale en

que l'on intègre avec un chgt de variable
( d'où l'intérêt d'avoir d'abord tout remis dans les x>0)

[invite8241b23e]

Wahou, quelles astuces !

Par contre, pour la fin, si t = x^3, alors x² = t^(2/3), et donc ça fait chercher la primitive de [t^(2/3)]/(1+t²). C'est connu ?

[invite51d17075]

non, attention ton dx intervient.
x=t^(1/3) dx= (1/3)t^(-2/3)dt et hop les t en haut disparaissent !!
c'est l'intérêt d'avoir choisi x^3

[invite8241b23e]

Gloire à toi, j'étais allé trop vite !! ^^