Théorème des valeurs intérmédiaires.

invitecbade190 · 08/09/2016, 11h19

Bonjour,

Une version de démonstration du théorème des valeurs intermédiaires se trouve ici : http://www.lyceedadultes.fr/sitepeda...Th_Val_Int.pdf
Le théorème affirme :
Soit $\text{[math]}$ une fonction définie et continue sur l'intervalle : $\text{[math]}$ .
Alors : $\text{[math]}$ .
Ma question est plutôt d'ordre psychologique :
A priori, le théorème des valeurs intermédiaires ne vaut pas la peine d’être appelé théorème, puisqu'il s'agit d'une évidence qui ne demande par d’être démontré, car de manière évidente, toute droite : $\text{[math]}$ coupe la courbe de $\text{[math]}$ en un point en tenant compte de toutes ces hypothèses qui décrivent le phénomène, pourquoi alors, on est obligé de passer par une démonstration pour valider ce ... ce qu'on appelle théorème des valeurs intermédiaires ? L'évidence suffit. Autrement dit, si c'est ainsi les maths, il faut aussi démontrer que : $\text{[math]}$ avant de pouvoir l'utiliser, alors que c'est une évidence. Quel est donc l’intérêt d'une démonstration lorsqu'il s'agit d'une évidence ? Pourquoi chercher à traverser un long périple pour arriver à une évidence. Ce n'est pas du paranoïa ça ?

Merci d'avance.

invite51d17075 · 08/09/2016, 12h09

la terminologie ne me gène pas.... comment voudrais tu appeler cela ?
et la démonstration est tout sauf lourde.
de plus on peut prolonger pour les fonctions dérivables et l'existence de c tel que f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

**QueNenni** · 08/09/2016, 13h04

C'est vrai que pour parcourir un chemin ou une trajectoire, de l'origine O au point d'arrivée F il faut nécessairement franchir toute les points intermédiaires entre les deux! C'est assez intuitif pour s'en rendre compte spontanément.

**gg0** · 08/09/2016, 13h10

Chentouf,

tu appelles "évidence" une intuition probablement fausse de ce qu'est une fonction continue. Si tu fais les maths à partir d'intuitions, tu ne fais pas des maths. Seulement du discours pseudo-mathématique.
Je ne te crois pas quand tu dis : " de manière évidente, toute droite : $y = k$ coupe la courbe de $f$ en un point en tenant compte de toutes ces hypothèses qui décrivent le phénomène", tu dis seulement que tu y crois. Moi, je ne partage pas cette conviction, car je ne sais pas comment est la courbe d'une fonction continue (peut-être y a-t-il des trous), car la définition de la continuité est assez barbare pour s'adapter à des cas compliqués (*). Donc il va falloir une preuve pour moi.
Mais je le sais, tu ne t'embarasse pas e preuves pour les choses élémentaires (du coup, tu ne les maîtrises pas), seulement pour les notions trop compliquées pour toi. !!

Quant à ton contre exemple ("démontrer 1=1") il confine à l'absurde. Es-tu vraiment sûr que tu es toi ???

En fait, ici, tu exprimes ton refus de ce que sont les mathématiques. Tant pis pour toi !

Cordialement.
(*) c'est d'ailleurs le cas : courbes continues dont la distance entre 2 points est infinie, fonctions continues nulle part dérivable, etc.

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invitecbade190 · 08/09/2016, 13h47

Bonjour à tous,

@gg0 : Je ne voudrais pas te croire, même si tu as peut être raison ... C'est pour assurer la tranquillité à mon l'esprit, et ne pas le bouleverser à nouveau.

Toi, je sens que tu voudrais créer le chaos dans mon esprit à tout prix.

Envoyé par gg0

Moi, je ne partage pas cette conviction, car je ne sais pas comment est la courbe d'une fonction continue (peut-être y a-t-il des trous), car la définition de la continuité est assez barbare pour s'adapter à des cas compliqués (*). Donc il va falloir une preuve pour moi ... c'est d'ailleurs le cas : courbes continues dont la distance entre 2 points est infinie, fonctions continues nulle part dérivable, etc.

Peux tu préciser davantage comment une fonction continue nulle part dérivable, a pour graphe, une courbe dont la distance entre deux points est infinie ?
Merci d'avance.

**Médiat** · 08/09/2016, 14h09

la fonction de IN dans IN (munie de la topologie usuelle) définie par f(n) = n² est continue, mais elle ne vérifie pas le TVI.

**gg0** · 08/09/2016, 14h16

Il ne s'agit pas de la même chose, mais de deux "évidences" fausses : Au début du dix-neuvième siècle, les mathématiciens pensaient qu'il était évident qu'une fonction est dérivable, puis, quand on a commencé à prendre des fonctions quelconques, qu'une fonction continue avait des dérivées sauf en certains points (comme la fonction x-->|x| qui n'est pas dérivable en 0). jusqu'à ce qu'on exhibe une fonction (série de Fourier) continue qui n'a pas de dérivée; nulle part !
Quant aux courbes continues de longueur infinie, le flocon de Von Koch en est un exemple très simple.

Attention : La définition de "f est continue" ne recouvre pas l'intuition de "tracé sans lever le crayon". Il y a des tas de fonctions continues qu'on ne peut pas tracer !!
la fonction x--> x sin(1/x) prolongée par continuité en 0 a, aussi près de 0 que l'on veut, des tangentes de pente 1 ou -1. On ne peut pas tracer l'infinité de ces tangentes !!

invitecbade190 · 08/09/2016, 14h18

Oui, c'est vrai Médiat, donc, malgré la fonction est continue, elle contient des trous.

edit : croisement avec gg0. Je lis ton message gg0 ... Attend un peu.

invitecbade190 · 08/09/2016, 14h37

eh bien, Bravo à vous tous, vous m'avez rendu claires les choses. Je comprends bien maintenant pourquoi TVA a besoin d'une démonstration.

Je vous remercie.
Cordialement.

invite3cb331d8 · 08/09/2016, 19h09

BONJOUR
CA AUSSI EST ÉVIDENT

http://forums.futura-sciences.com/sc...t-evident.html

invitecbade190 · 09/09/2016, 01h42

Bonjour à nouveau :

Envoyé par gg0

Quant aux courbes continues de longueur infinie, le flocon de Von Koch en est un exemple très simple.

Je n'ai pas compris ça gg0. Peux tu étayer tes propos un peu plus clairement ?
Merci d'avance.

@izm342 : ???

invite51d17075 · 09/09/2016, 11h55

salut,
c'est une courbe fermée, continue , construite de manière itérative sur le principe des fractales.
donc de longueur infinie quand n->inf mais de surface englobée finie.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Flocon_de_Koch

invitecbade190 · 23/09/2016, 23h29

Bonsoir,

Dans le souci d'ôter la confusion des esprits de nos chers lecteurs, je me permets de donner quelques clarifications :

en principe, le théorème des valeurs intermédiaires n'a pas besoin de démonstration puisqu'il est soumis à l'évidence immédiate ... Tout ce qu'il y'a, est que le mot ''continue'' est utilisé mal littéralement dans ce contexte.
Toute fonction réelle continue ne contient catégoriquement pas de ''trous'' en suivant la terminologie utilisée par gg0 plus haut, et donc, le théorème est évident sans besoin d’être démontré.
Cependant, le sens de continuité utilisée par Médiat et gg0 à travers leurs exemples, n'est pas la continuité dans le sens : ''sans trou'', mais la continuité dans le sens qu'elle obtempère aux axiomes de la notion de topologie ... Pour éviter toute confusion, on aurait mieux fait d'utiliser le mot ''continuité faible'' à titre d'exemple ou un autre mot à sa place, mais utiliser le même mot : 'continuité'' dans deux contextes différents prête à confusion. Donc, attention.

invitecbade190 · 23/09/2016, 23h45

Une fonction réelle $\text{[math]}$ n'est pas continue en $\text{[math]}$ ; signifie , contient un trou en $\text{[math]}$ , si :
$\text{[math]}$
c'est à dire :
$\text{[math]}$
c'est à dire :
$\text{[math]}$
Le sens visuel ( graphique ) de : $\text{[math]}$ , signifie qu'il y'a effectivement un trou dans la courbe de $\text{[math]}$ au point $\text{[math]}$ . Faites un dessin pour comprendre.

**albanxiii** · 24/09/2016, 11h31

Envoyé par chentouf

Cependant, le sens de continuité utilisée par Médiat et gg0 à travers leurs exemples, n'est pas la continuité dans le sens : ''sans trou'', mais la continuité dans le sens qu'elle obtempère aux axiomes de la notion de topologie ...

Donc, c'est "sans trou" dans les espace de départ et d'arrivée.

invitecbade190 · 24/09/2016, 12h11

Envoyé par albanxiii

Donc, c'est "sans trou" dans les espace de départ et d'arrivée.

''Sans trous'' implique vérification des axiomes de la notion de topologie, par contre vérifier les axiomes de la notion de topologie ne signifie pas ''sans trous'' ...

invite51d17075 · 24/09/2016, 12h41

parler de "trou" est un peu "fragile".
par exemple :
soit f de R* dans R* telle que :
f(x)=0 si x app R\Q et
f(x)=1/x si x app à Q
elle est continue sur Q mais discontinue sur R/Q et pourtant Q est dense dans R.

invite51d17075 · 24/09/2016, 12h54

correction pour être plus propre:
fct de thomaé :
de R ds R avec f(0)=1,
elle est donc continue sur une partie dense de R et discontinue sur une autre.

invitecbade190 · 24/09/2016, 13h14

Merci, je ne connaissais pas la fonction de Thomae : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Thomae

Théorème des valeurs intérmédiaires.