Somme avec coefficients binomiaux ( formule Zhu Shi Zie )

[invite20b2786c]

Bonjour,
je sors d'une interro de math en sup.
Je cherche laborieusement pour quoi la somme est égal à la somme des n(n-1)/2
Merci
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Écrivez la définition de , avec des factorielles. Ça se simplifie bien.

@+

[invite20b2786c]

C'est ce dont j'ai pensé mais je ne vois pas comment je simplifie n!/2(n-2)!

[invitef29758b5]

Salut

C'est ce dont j'ai pensé mais je ne vois pas comment je simplifie n!/2(n-2)!

(n-2)!.(n-1).n = ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite20b2786c]

Excusez moi je ne comprends pas la formule n'est pas n!/k!(n-k)! ?

[invitecbade190]

Bonsoir,

Outre ce qui a été dit au début par les intervenants du forum, je propose la piste suivant aussi :

.
avec :



Inversement,


.

.

Par conséquent :


Donc montrer que : revient à montrer que :

Cordialement.

[invitef29758b5]

Excusez moi je ne comprends pas la formule n'est pas n!/k!(n-k)! ?

Avec k = 2 , ça donne quoi ?

[invite20b2786c]

Super développement je vous remercie ca m éclaire un peu mais j aimerais seulement savoir comment on passe de 2 parmi n à n(1-n)/2 merci

[invite20b2786c]

Ca donne n!/2!(n-2)! ?

[gg0]

par exemple, et il y a une simplification "évidente" par (n-2)!

[invitef29758b5]

par exemple, et il y a une simplification "évidente" par (n-2)!

Avec #4 , c' est encore plus évident .

[invite20b2786c]

On n a pas encore totalement fait les calculs avec des factorielles je ne vois vraiment pas

[invite20b2786c]

Ah je viens de comprendre on a n! en haut donc (1x2x3x...xn)/2(1x2x3...xn-2 donc il reste en haut n(n-1)/2 lol

[albanxiii]

Voilà !
Si vous ne voyez pas avec l'écriture , développez, .
Remarque valable pour d'autres exercices, dans d'autres situations, avec d'autres objets que des factorielles.