Exercice maths sup " les ensembles " ( Besoin d'aide !! )

[invite88abcd92]

Bonsoir , je suis nouvelle dans ce forum et j'ai besoin de votre aide svp.

Voilà la question :

Montrer par contraposition l'assertion suivante, E étant un ensemble :

∀A,B,C ∈ P(E) (A∩B = A∩C et A∪B = A∪C) ⇒ B = C

Merci d'avance !!
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[Médiat]

Bonjour,

Vous êtes sûre de votre énoncé ? Parce que tel quel, c'est trivial, il suffit de prendre A = {}

[invite88abcd92]

Bonjour,
Oui c'est bien l'énoncé mais je n'arrive pas à trouver le bonne réponse en utilisant la contraposition .
Il suffit de prendre quoi ?

[gg0]

Bonjour.

j'ai l'impression que Médiat a mal lu l'énoncé, on ne peut pas prendre puisque A est quelconque. Sa réponse correspond à :

Pour utiliser la contraposée, il te suffit de partir de non(B=C) et montrer le contraire logique de (A∩B = A∩C et A∪B = A∪C) (je te laisse l'écrire). A, B et C étant des parties de E sans précision.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88abcd92]

Je n'arrive pas à voir pas la différence entre l'énoncé que j'ai donné et celui-là que vous venez de donner .
Je vois une différence dans l'endroit des parenthèses mais celà change quoi ?

[gg0]

Dans ton énoncé initial, on n'a pas le choix sur A, B et C dans l'implication, dans celui que j'ai écrit, toute valeur de A peut être utilisée pour obtenir la conclusion B=C.
Prends le temps de bien lire ...

[Médiat]

Je pense avoir bien lu, en fait, il manque des parenthèses dans l'énoncé :
∀A,B,C ∈ P(E) ((A∩B = A∩C et A∪B = A∪C) ⇒ B = C)

Sinon la quantification en A ne porte que sur la première partie de la formule, qui d'ailleurs est "fautive", le B et le C de gauche n'étant pas le même que celui de droite

[gg0]

Effectivement, Médiat.
Cependant entre deux interprétations possible, j'avais choisi celle qui a un sens, celle que tu as écrite au message #7.
A vrai dire, je me doutais un peu que tu aurais une bonne raison

Cordialement.

[invite88abcd92]

Pouvez vous être plus clairs dans vos réponses s'il vous plaît ?
Je ne vois toujours pas la différence avec les parenthèses.
Puis-je avoir un exemple plus concret ?

[gg0]

Les parenthèses ont le rôle habituel en maths. Suivant l'endroit où elles se trouvent, la signification va changer.
Dans ta forme initiale, on peut interpréter comme le faisait (avec malice) Médiat :
[∀A,B,C ∈ P(E) (A∩B = A∩C et A∪B = A∪C)] ⇒ [B = C]
Avec un souci, B et C sont définis dans la partie gauche, mais une fois ce crochet fermé, ils n'ont plus d'existence; ce sont des variables liées (*), on pourrait les remplacer par G et H (*) :
[∀A,G,H ∈ P(E) (A∩G = A∩H et A∪G = A∪H)] ⇒ [B = C]
et tu vois que ça n'a plus de sens !

Malicieusement, médiat a choisi de sortir B et C du premier membre de l'implication pour ne conserver que A dans le crochet (voir mon message #4), et A peut être alors pris comme on veut pour prouver l'implication (C'est ce qu'a fait Médiat)

Pour ma part, j'ai pris l'interprétation qu'il a écrite avec les bonnes parenthèses au message # 8, et qui correspond à ce qu'on dirait en français ainsi : "soient A, B et C trois parties de E; On suppose qu'elles vérifient A∩B = A∩C et A∪B = A∪C; prouver que B=C"

Tu rencontres ici une des difficultés d'écrire des textes clairs en français avec les formulations purement mathématiques.

Cordialement.

(*) Comme le t dans f : t-->t²+1, ou les "variables d'intégration"

[invite88abcd92]

Merci beaucoup pour votre réponse qui est très claire et précise

Pourrez-vous me dire s'il vous plaît si la réponse que je vous montrerai ci-dessous est juste ou pas ?

Soit
On suppose que
On a :
et et et


On a le connecteur logique "ou" donc il suffit que je montre l'une des deux .(j'ai réussi à montrer l'autre mais une seul est suffisante non ? )

[invite88abcd92]

Je viens d'y réfléchir encore une fois, et j'ai compris qu'il faut obligatoirement montrer les deux .
Merci énormément pour vos réponses qui m'ont beaucoup aidé .
Bonne journée .

[gg0]

Bonjour.

effectivement, ta ligne
et et ...
pose problème, car ce x peut ne pas exister.
Pour ma part, j'aurais rédigé en français :
Comme B et c sont différents, il existe un élément de B qui n'est pas dans C, ou un élément de C qui n'est pas dans B.
Dans le premier cas ...
Dans le deuxième cas en échangeant les rôles de B et C, on trouve la même conclusion.

Cordialement.

[invite88abcd92]

Ah oui c'est vrai . parce que j'ai l'impression qu'il yen a trop.
x peut être dans B mais pas dans C, il peut aussi être dans C mais pas dans B , comme il peut aussi être dans les deux vu que le fait que B soit différent de C ne veut pas dire qu'ils sont disjoints. Et il faut diviser chacun de ces trois cas en deux selon si x appartient à A ou pas ce qui fait au total 6 cas.
Pouvez-vous me donner explicitement les cas qu'il y a ?

[gg0]

Si tu veux traduire B différent de C, tu ne vas pas parler des éventuels éléments communs !
C'est bizarre, tu sembles ne pas vouloir chercher toi-même à prouver !

Par contre, il faut effectivement traiter les deux sous-cas suivant que x est dans A ou pas.

[invite88abcd92]

Bien sûr que si j'essaie de le prouver moi-même mais j'y arrive pas et c'est pour cela que je demande votre aide.
La preuve , pour moi, j'ai utilisé les 6 cas que je viens de citer mais vous venez de me dire qu'il faut exclure le cas où x appartient en même temps à B et C .
D'ailleurs je ne comprends pas pourquoi il faut éliminer ce cas, c'est pourtant un cas possible vu que B et C ne sont pas disjoints.

[gg0]

Ton hypothèse est "B différent de C". Comment cela se traduit-il ???

Tu as utilisé un x, mais l'hypothèse ne parle pas de x. Comment ce x traduit-il l'hypothèse ?

Cordialement.

[invite88abcd92]

Ah je viens de comprendre .
J'ai été stupide hahah
Merci infiniment pour votre aide !!!

[invite6bfdf32a]

cqfd? Ca doit être valabe... à mon sens