Loi normale multivariée et région de confiance

[invite45bf7ad1]

Bonjour à tous

J'essaie de comprendre comment tester si une valeur est dans la région de confiance d'une loi normale multivariée.

Cette source indique que pour une loi normale multivariée la région de confiance s'exprime:



Où
désigne le nombre d'échantillons
est la dimension de la loi normale
désigne la moyenne estimée
désigne la matrice de covariance estimée
est la valeur critique de la F-distribution en

Ce que je ne comprends pas, c'est que cette inégalité suggère que plus le nombre d'échantillons est grand plus l'intervalle de confiance est petit, car la partie gauche est proportionelle à , alors que dans la partie droite la fraction tends vers pour grand et la valeur critique converge aussi (par exemple ici, pour , la valeur critique tends vers 3 quand )

Pourtant, la région de confiance devrait dépendre uniquement de la loi elle-même, non?
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[zenxbear]

les maths ont l'air hors de mon niveau, mais, normalement l'intervalle de confiance doit dépendre de la taille de l'échantillon.
Si tu prends une variable X, et tu poses

qui représente la moyenne sur un échantillon avec va i.i.d. d’espérance et d'écart type



plus ton échantillon est grand, moins tu t’écartes de la moyenne.

Ca se retrouve dans le Théorème Central Limite pour une variable réelle



Sous certaines conditions sur la loi X, on sait que la convergence se fait suffisamment rapidement, pour écrire une égalité.
Ce qui nous permet de déduire des intervalles de confiance, qui vont aussi dépendre de n. et devenir plus petit plus n est grand.

[invite45bf7ad1]

En fait, ce que je cherche à obtenir, c'est une ellipsoïde (qui est un intervale dans le cas à une dimension) dans laquelle des points sont présents

Plus l'échantillon est grand, mieux la loi normale est représentée, et donc en théorie l'ellipsoide devrait avoir une forme "fixe" pour des n grands

Par exemple si je tire 300 nombres aléatoires selon une loi normale et que je dessine l'histogramme:

out1.png

Et si j'en tire 10000:

out4.png

La loi est mieux représentée, mais l'intervalle de confiance, dans lequel 95% des valeurs devrait converger quand n est grand, non?

[invite45bf7ad1]

Mais je pense que je confonds deux choses
L'intervalle de confiance présentée dans mon premier message sert à mon avis à évaluer l'exactitude du modèle obtenu

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite45bf7ad1]

En fait l'ellipsoide que je cherche peut être obtenue avec le test du dans le cas multivarié (https://en.wikipedia.org/wiki/Chi-sq..._distributions)