Prouver que les fonctions Mn(x) et mn(x) sont continues en x0

[invite1f47911c]

Bonjour,

j'ai des difficultés à résoudre cet exercice selon l'aide de mon professeur.
Voici l'énonce :

Soit f1, ..fn continues en x0. Prouver que les fonctions Mn(x)= max fj(x) pour 1<=j<=n et mn(x) = min fj(x) pour 1<=j<=n sont continues.
Donner des exemples pour montrer que ce résultat n'est pas vrai pour toutes les fonctions, où le max est remplacé par sup et min par inf.

Aide : Remarquer qu'il est suffisant de le montrer pour n=2.
De plus, il y a une identité utile : max(f1,f2) = (1/2)(f1 +f2 + abs(f1-f2)), avec une identité similaire pour le minimum
abs()=valeure absolue

Je comprend qu'il faut montrer pour n=1 et n=2. Mais après, comment je déduis que ça marche pour toutes fonctions ? J'utilise un raisonnement par récurrence ? et surtout est ce que vous comprenez pourquoi on me demande des exemples pour montrer que le résultat n'est pas vrai pour beaucoup de f ?

Merci pour votre aide !
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[gg0]

Bonjour.

Tu proposes des méthodes de preuve. Pourquoi ne les essaies-tu pas ? Tu verras bien si ça marche ou pas.*

"est ce que vous comprenez pourquoi on me demande des exemples pour montrer que le résultat n'est pas vrai pour beaucoup de f ?" Ben !!! justement parce que ça ne marche pas pour une infinité de fonctions. Je n'en dirai pas plus, ce que tu as écrit n'est pas un énoncé (contrairement au début, avec max et min).

Cordialement.

[invite1f47911c]

Bonjour,

Je n'ai pas rédigé la preuve parce que je n'arrive pas à faire l'heridité. En effet, comment savoir quelle fonction est la plus grande entre fn et fn+1 ?


Désolé si c'est mal rédigé. J'étudie aux États Unis, donc je traduis ici mes énoncés.

[gg0]

"comment savoir quelle fonction est la plus grande entre fn et fn+1 ? " ??? A priori, aucune ! prends x-->2x et x -->3-x. laquelle est la plus grande ?

Si tu résout le cas de 2, la récurrence devient évidente : max(a,b,c,d,..l)= max(a, max(b,c,d,..l))

Essaie déjà de rédiger la preuve que si f et g sont continues en x0, x-->max(f(x),g(x)) est continue en x0.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]