DM de SI: probleme de trigo

[Black777]

Bonjour a tous:

J'ai démarre la prépas cette année, et ayant reçu un dm j'ai bloqué à cette question de trigo:

on obtient après fermeture géométrique c'est deux équation (qui sont donné dans l'énoncé):

tan( o3/1 ) = (r*sin(o2/1)+h)/(r*cos(o2/1))

et y = r* cos (o2/1) / cos(o3/1)

on doit déduire y et o2/1 pour:
r =81, h=109 et o3/1 = 135°

j'ai essayé de réordonne la première pour isolé 02/1 pour ensuite réinjecte dans la seconde est la blocage, je n'arrive pas à isolé o2/1:

soit j’obtiens un arcos de sinus ou l'inverse... et je ne sais si il existe des formules sur les arcsin arcos et arctan en linéarisation...

une idée svp?
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[gg0]

Bonjour.

Le cas général est un peu plus compliqué, mais comme on connaît la valeur exacte de la tangente, on se ramène à une équation de la forme a.sin(o2/1)+b.cos(o2/1) = c qui se résout bien par les méthodes habituelles (ici transformation en sin(o2/1+pi/4)).
le cas général peut se faire de la même façon, mais il n'y a des solutions que pour certaines plages de valeurs des parmètres h et r.

Comme on ne sait pas d'où sort ton o2/1 (notation malsaine et inutile ici), je ne suis pas allé au bout.

Bon travail !

[Black777]

Merci je crois juste avoir oublier cette façons de faire, j'essaye

[Black777]

Merci je crois juste avoir oublier cette façons de faire, j'essaye

on a donc:
tan(p)cos(O)-sin(O)=h/r

on pose: tan(p)=A
-1=B
et c = h/r
et donc:

A/racine(A^2+b^2)=cos(phi)
B/racine(A^2+b^2)=sin(phi)

donc:

cos(phi)cos(0)+sin(phi)sin(O)= cos(O-phi)=tan(phi)

et ainsi:

O = arcos(tan(phi))+phi

phi = arctan((h/r)/racine(a^2+b^2))


c'est cela (sans les valeurs?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

"on a donc:
tan(p)cos(O)-sin(O)=h/r"
En multipliant par cos(p) :
sin(p)cos(O)-sin(O) cos(p) = (h cos(p))/r
sin(p-O)=(h cos(p))/r
Il y a deux cas :
* si (h cos(p))/r <-1 ou (h cos(p))/r>1, il n'y a pas de valeur de O qui conviennent. Le problème est sans solution.
* Sinon, on a
sin(p-O)=sin(Arcsin((h cos(p))/r))
donc on a deux séries d'équations :
p-O=Arcsin((h cos(p))/r)+ k.2Pi ou p-O=Pi-Arcsin((h cos(p))/r)+ k.2Pi (k est un entier relatif quelconque)
Donc deux séries de solutions (éventuellement avec des éléments communs) :
O=p-Arcsin((h cos(p))/r)+ k.2Pi et O=p-Pi+Arcsin((h cos(p))/r)+ k.2Pi

Si O est dans un intervalle donné, reste à chercher parmi ces valeurs celles qui sont dans le bon intervalle.

Cordialement.

[gg0]

A noter : En général, arcos(tan(phi)) n'existe pas, la tangente pouvant prendre des valeurs en dehors du domaine de définition de Arccos.
A noter : cos(x)=t ne dit pas que x=Arccos(t). Revoir de près les "fonctions trigonométriques inverses".

[Black777]

Je suis en première année de prepas et on nous à jamais définit les fonction inverse, pour leur intervalle de définition c'était prévisible... merci de votre aide et de votre patience

[gg0]

Si les fonctions Arcsin, Arccos et Arctan ne t'ont jamais été définies, ne les utilises pas. Tu ne sais pas ce que tu écris.
Par contre, tu sais que
* pour tout nombre t entre -1 et 1, il existe un seul nombre x entre -Pi/2 et Pi/2 tel que sin(x)=t;
* pour tout nombre t entre -1 et 1, il existe un seul nombre x entre 0 et Pi tel que cos(x)=t;
* pour tout nombre t, il existe un seul nombre x entre -Pi/2 et Pi/2 (exclus) tel que tan(x)=t;
car tu as vu ces fonctions trigonométriques, et qu'elles sont continues et strictement monotones sur ces intervalle.

Cordialement.