Intégration par partie

**tpscience** · 26/10/2016, 02h33

Bonjour,

Après calculs, j'ai obtenu l'expression suivante : $\text{[math]}$ .

Or, j'aimerais maintenant obtenir la relation de récurrence suivante : $\text{[math]}$ .

J'ai commencé une intégration par parties mais je me retrouve avec un $\text{[math]}$ dans l'intégrale dont je ne sais quoi faire :

$\text{[math]}$

Je me doute qu'il me permettra d'obtenir le $\text{[math]}$ , mais en tant que facteur je ne vois pas comment l'utiliser, à moins d'une deuxième intégration par parties, dont je doute...!

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci !

**albanxiii** · 26/10/2016, 06h48

Bonjour,

L'expression à laquelle vous arrivez est un appel au coup du " $\text{[math]}$ " : $\text{[math]}$ (pour le $\text{[math]}$ en facteur).

@+

**tpscience** · 26/10/2016, 09h28

Bonjour,

Effectivement, la sempiternelle astuce du "+1-1"...!

Merci.

**tpscience** · 26/10/2016, 09h55

Après maintenant avoir montré que $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ , j'aimerais arriver à l'expression simplifiée comme suit :

$\text{[math]}$

Or je trouve quelque chose d'un peu différent : $\text{[math]}$

Si quelqu'un a une idée ?

Merci !

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**gg0** · 26/10/2016, 10h43

Ben ... ce n'est pas égal déjà pour n=0.

**tpscience** · 26/10/2016, 14h29

Exact.

Mais je ne retrouve pas l'expression...

**tpscience** · 26/10/2016, 22h57

Aucune idée...?

inviteab0c3c8c · 27/10/2016, 04h49

Bonjour,
déjà, pour l'expression générale de alpha à partir de la relation de récurrence donnée plus haut, j'obtiens :
$\text{[math]}$

Donc, à priori, rien à voir avec ce que vous proposez. Je me demande où vous avez bien pu voir une somme ...

Cordialement

**tpscience** · 27/10/2016, 08h04

Bonjour,

La somme est imposée, donnée initialement dans l'énoncé, donc alpha défini comme tel.

Votre relation ok, elle est liée à celle de récurrence que j'ai déjà obtenue.

L'idée est d'obtenir maintenant, entre l'expression avec la somme et celle de récurrence, une expression de alpha avec les factorielles comme j'ai proposé dans le précédent post...

**Médiat** · 27/10/2016, 09h01

Bonjour,

La formule $\text{[math]}$ est correcte et s'obtient facilement à partir de $\text{[math]}$

inviteab0c3c8c · 27/10/2016, 09h12

Bonjour, comme je n'ai pas l'énoncé sous les yeux, je dois dire que pour moi ce n'est pas très clair.

Enfin ce que je comprends maintenant, c'est qu'à partir de la relation de récurrence, vous êtes parvenu à démontrer l'expression à base de somme de termes. Je ne sais pas comment vous vous y êtes pris, mais pour avoir légèrement tâtonné j'imagine qu'on fait intervenir les coefficients du "Triangle de Pascal".

Maintenant, si le but est d'obtenir le résultat final à partir de cette monstrueuse somme, là je cale. Mais à partir de la forme produit que j'ai mentionné précédemment, alors là, c'est déjà plus abordable, auquel cas, si j'ai bien saisi la problématique, je pourrai certainement vous aider. Vous me confirmez ?

**tpscience** · 28/10/2016, 02h05

Bonjour,

Je n'aie, initialement pas la formule avec le produit, mais celle de récurrence que j'ai démontrée précédemment.

Maintenant, toute aide est bonne à prendre évidemment.

Merci !

inviteab0c3c8c · 28/10/2016, 03h18

Envoyé par tpscience

Bonjour,

Je n'aie, initialement pas la formule avec le produit, mais celle de récurrence que j'ai démontrée précédemment.

Maintenant, toute aide est bonne à prendre évidemment.

Merci !

J'ai vraiment du mal à vous suivre, vous me confirmez dans une de vos réponses (je vous cite)

Envoyé par tpscience

Votre relation ok, elle est liée à celle de récurrence que j'ai déjà obtenue.

que vous avez déjà la formule à base de produit, et maintenant vous assurez que vous n'avez que la relation de récurrence ... ???

Bon on va essayer de faire simple en reprenant rapidement depuis le début :

a) On vous demande de calculer une intégrale I_n, et vous déterminez sa relation de récurrence $\text{[math]}$ . (1)
Jusque là tout va bien (ou presque, on verra plus bas)

b) À partir de (1), vous en déduisez l'expression générale de I_n à base d'un produit tel que je l'ai exprimé au commentaire #8 (à une petite erreur près, en effet k ne varie de 0 à n mais de 1 à n, comme l'a indiqué "Mediat" au commentaire #10)

D'ailleurs on notera que la relation de récurrence (1) n'est pas valable pour n=0. En effet, si on revient à la définition, on a :
$\text{[math]}$ ,

on voit que pour n=0, la quantité $\text{[math]}$ fait intervenir l'expression 0⁰ ce qui n'est pas mathématiquement défini.
mais cela n'est pas si gênant dans la mesure où le calcul I₀ ne pose aucun problème de part la définition de I_n . En effet :

$\text{[math]}$
Je vous laisse résoudre cet épineux problème.

finalement on en conclu la relation de récurrence pleinement définie comme suit : $\text{[math]}$

Le passage à l'expression à base de produit qui vous a été fourni et qu'apparemment vous avez vous-même déterminée est trivial et immédiat.

c) Ne reste plus maintenant qu'à passer de cette forme produit au résultat final. L'opération est un peu plus délicate que la précédente mais reste toutefois relativement triviale. Voyez le comme le quotient P_N (produit des nombre pairs; 2k jusqu'au rang n) par P_Q (produit des nombres impairs; 2k+1 jusqu'à ce même rang n). Trouvez l'expression de P_N et essayez d'exprimer P_Q en fonction de P_N. Le résultat apparaîtra sûrement.

N'hésitez pas à faire part ici de votre avancement.

Cordialement

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