integration par partie

[invited7d8ed7b]

Bonjour , commn integrer par partie t² e-t sur 0,1
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[invite1e1a1a86]

dérive la partie en t² et intègre celle en exp(-t)

puis dérive la partie en t et intègre celle en exp(-t)

enfin, il ne reste qu'à intégrer


autre méthode:
supposes qu' une primitive de t²exp(-t) est (at²+bt+c)exp(-t) (c'est une hypothèse raisonnable a priori...) et regardes si tu peux pas trouver a, b et c pour que ça marche.

[invited7d8ed7b]

u(t)= t²
u'(t)= 2t
v(t)= e -T
v'(t) = -e -t

jusque la ca marche ?

[invitec4bbab6d]

oui sauf que dans ton raisonnement c'est v'(t)=exp(-t) et v(t)=-exp(-t) puisque tu primitive exp(-t). Mais sinon oui.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec4bbab6d]

bon je reprends pour être sûr qu'on se comprenne :

L'intégration par partie se fait de la façon suivante :

Dans ton cas tu veux diminuer la puissance de pour pouvoir intégrer facilement donc tu feras deux intégrations par parties en dérivant les puissances de et en primitivant l'exponentielle. La première étape correspond alors à:

que tu dérives en
que tu primitives en

et hop le tour est joué. Tu recommences une intégration par partie de la même manière pour te débarasser du .

bonne soirée

[invited7d8ed7b]

la reponse et 2 - 5/e mais comment arrive t'on à ce resultat ??

[invitec4bbab6d]

a ba tu as tous les outils pour le faire

bon on fait la première étape ensemble, reprends mon précédent message pour t'aider.

Alors on fait comme expliqué plus haut. L'idée est de se débarrasser de la puissance de puisque la fonction exponentielle est facile à dériver/intégrer. On pose donc :

et on dérive cette fonction en
que l'on primitive en

Ensuite il suffit d'utiliser la formule générale de l'intégration par partie que je t'ai explicité dans mon message précédent. Allez je suis sympa, je la rappelle ici (je te fais don des précisions sur la dérivabilité et/ou continuité des fonctions sur le domaine d'intégration puisqu'on n'a aucun problème dans ton exemple).

ici est ton domaine d'intégration et correpond à l'intervalle dans ton exemple. Ne le prends pas mal mais je préfère tout expliquer pour être sûr que tu comprennes. La quantité est égale à .

Bon alors appliquons cette formule à ton exemple, j'ai pris les même notations pour faciliter le passage :

en simplifiant on obtient :

J'ai juste calculer le premier terme, simplifier les signes du second et passer le en facteur.

Il ne te reste plus qu'à faire la même manipulation pour l'intégrale qui reste et tu obtiendras, comme tu l'as dit,

[invite4a9059ea]

on pose :

,
d'où et

on obtient alors :



on pose alors :

,
d'où et

et on a :



donc :



voila qui est fait

[invitec4bbab6d]

arghhhhhh où est la démarche d'apprentissage !!!! Il n'y a plus rien à faire là ()

[invite4a9059ea]

oui c'est vrai

mais bon tu lui a donné la démarche et je lui ai donné les calculs pour qu'il puisse vérifier en cas d'erreurs

[invitec4bbab6d]

Non tu l'as soumis à la tentation là !! t'es le diable en personne

Enfin t'as raison ça lui fera un moyen de vérifier (en espérant que ça ne serve qu'à ça...).

bonne soirée à vous tous !

[invited7d8ed7b]

il faut donc trouver la primitive -t e-t

[invitec4bbab6d]

tu pourrais mais il n'y pas de primitives usuelles à une telle fonction. c'est pour ça qu'on te dit de refaire une intégration par partie en séparant t et exp(-t) et en dérivant t.