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Intégration par partie



  1. #1
    somnambulie

    Intégration par partie


    ------

    Bonjour,
    J'ai un petit souci d'intégration.
    Je dois simplifier l'expression suivante S0-1[SB-1(q(b)db)]dB
    Ou S0-1 signifie intégrale de 0 à 1
    et SB-1 signifie intégrale de B à 1

    Je sais qu'il faut procéder par partie et que le résultat est :
    S0-1[B q(B)]dB

    Mais même avec tous ces éléments je ne m'en sors pas.

    Help me please!

    -----

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  3. #2
    Nox

    Re : Intégration par partie

    hum ton q(b) repesente quoi ? une fonction ? si oui laquelle ?
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  4. #3
    nissart7831

    Re : Intégration par partie

    Bonjour,

    as-tu des informations sur q ?

  5. #4
    somnambulie

    Re : Intégration par partie

    q(b) est effectivement une fonction quelconque, que je dois d'ailleurs déterminer ensuite en utilisant Euler (la fonction qui maximise l'intégrale doit être maximum en tout point). En fait la question que je pose est un premier élément d'un problème de maximisation sous contrainte

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    nissart7831

    Re : Intégration par partie

    Tu pourrais nos donner entièrement l'énoncé de ton exercice (du moins jusqu'aux premières questions)?

  8. #6
    somnambulie

    Re : Intégration par partie

    Précision quand même sur q(b), elle est décroissante (résultat obtenu par ailleurs)

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  10. #7
    somnambulie

    Re : Intégration par partie

    Citation Envoyé par nissart7831
    Tu pourrais nos donner entièrement l'énoncé de ton exercice (du moins jusqu'aux premières questions)?
    C'est super long et je manie pas assez bien les éditeurs pour m'en sortir. En fait c'est un article de Tirole et Laffont au sujet de la régulation d'entreprises publiques.

    Ce que je peux donner en complément c'est les grandes étapes du programme de maximisation fourni en PJ.
    Images attachées Images attachées  

  11. #8
    rvz

    Re : Intégration par partie

    C'est juste le théorème d'échange des intégrales :
    intégrale entre A et B (intégrale entre C et D ) =
    intégrale entre C et D (intégrale entre A et B )

    Ici, tu dois te ramener au cas o&#249; les A,B,C,D sont des constantes, sinon, &#231;a va pas marcher. Pour &#231;a, tu pourrais sans doute introduire la fonction qui vaut 1 si b<B, et 0 sinon.

    __
    rvz

  12. #9
    somnambulie

    Re : Intégration par partie

    B est une variable que prend ses valeurs entre 0 et 1. Par commodité on suppose qu'elle suit une loi uniforme sur cet interval, mais je ne peux pas dire que c'est une constante, ce qui me gene pour utiliser le théorème d'échange des intégrales je pense.

  13. #10
    nissart7831

    Re : Intégration par partie

    Dans le fichier que tu as joint précédemment, tu as fait une intégration par partie et tu as démontré ce que tu cherchais. Je suis d'accord avec ta démonstration (j'ai fait la même). Je ne comprends donc pas ton problème. Qu'est ce que tu cherches à faire en plus ?

  14. #11
    rvz

    Re : Intégration par partie

    Pas si tu dis qu'en fait tu fais l'int&#233;grale de 0 &#224; 1 d'une int&#233;grale de 0 &#224; 1 de ta fonction multipli&#233;e par la fonction caract&#233;ristique de {b<B} comme je te l'ai dit.

    __
    rvz, qui finit de pr&#233;ciser

  15. #12
    somnambulie

    Re : Intégration par partie

    Effectivement qlque chose m'échappe. C'est bien cette IPP que je n'arrive pas à refaire.
    Je comprends la partie entre crochets qui correspond [fxg] dans une IPP mais je ne comprends pas pourquoi il me reste + qui ne correspond pas à mon sens directement à - . C'est sûrement une simplification que je ne comprends pas.

    Y'a un truc que je maîtrise dans la relation dérivée-primitive.

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  17. #13
    nissart7831

    Re : Intégration par partie

    OK. Pour commencer, est ce que, dans l'integration par parties, tu comprends ce qui est posé pour f et g ?

  18. #14
    rvz

    Re : Intégration par partie

    Ce n'est pas une formule d'int&#233;gration par parties, c'est tout !

    [tex]
    \int_0^1 \int_a^1 q(b) \ db \ da =
    \int_0^1 \int_0^1 q(b) \mathbb{1}_{\{b>a\} } \ db \ da =
    \int_0^1 \int_0^1 q(b) \mathbb{1}_{\{b>a\} } \ da \ db =
    \int_0^1 \int_0^b q(b) \ da \ db =
    \int_0^1 b* q(b) \ db
    [/ tex]

    Il s'agit juste d'une aire d'int&#233;gration triangulaire (fais un dessin si tu veux savoir pourquoi &#231;a s'appelle comme &#231;a !! )

    __
    rvz

  19. #15
    somnambulie

    Re : Intégration par partie

    Je pense :
    f'=1 donc f=B
    g=q(b)db pris entre B et 1 donc g'=d[q(b)db]/dB

    C'est çà?

  20. #16
    nissart7831

    Re : Intégration par partie

    Citation Envoyé par somnambulie
    Je pense :
    f'=1 donc f=B
    g=q(b)db pris entre B et 1 donc g'=d[q(b)db]/dB

    C'est çà?
    Ici, la variable est B, donc quand tu écris f', f et g il faut bien que tu comprennes que ça représente en fait f'(B), f(B) et g(B). Ceci pris en compte, c'est :
    OK pour f' et f
    OK pour g, mais g' est en fait -q(B). J'explique.
    Soit Q une primitive de q (soit Q'=q), alors

    Donc g'(B) = -Q'(B) = -q(B) car Q(1) est une constante.

    Avec tout ça, je pense que tu peux terminer le calcul.

    Et [fg] entre 0 et 1, c'est égal à quoi ? Pense que c'est B la variable.

  21. #17
    somnambulie

    Re : Intégration par partie

    Tout s'éclaire!
    Et en prime j'ai relevé la syntaxe pour écrire tout ça en Tex -
    Merci bcp!

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