Solution élémentaire de l'équation de Korteweg-de Vries

[invite27a9be17]

Bonjour à tous,
J'ai un DM de maths à faire, l'exercice est extrait du livre "Solitons : an introduction" de DRAZIN et JOHNSON.
Il faut trouver la solution de l'équation (qui est une variante de l'équation de KdV) : du/dt + (1+u) du/dx = v(u) "travelling-wave solutions"
La solution doit prendre la forme u(x,t)=f(x-ct), avec c une constante pouvant jouer le rôle de paramètre et v(u)=u(1-u^2)
Le cas où c=1 est simple à démontrer, cela mène à f=A.exp(2(x-ct))-1 / A.exp(2(x-ct))+1 et u(x,t)=tanh(x-t-x0) avec A=exp(-2x0).
Je bloque pour démontrer le cas où c est arbitraire.
Merci de votre aide.
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[invite63e767fa]

Bonjour,

Les solutions qui sont demandées de la forme u=f(x-ct) sont des solutions particulières. Il faut être conscient du fait que cette équation aux dérivées partielles, sans fixer de condition initiale, possède une infinité d'autres solutions de formes différentes.
Vous avez correctement résolu le cas c=1. Sans doute pourriez vous aussi résoudre le cas c=2. Les cas c=1/2, c=3, c=4 et probablement quelques autres, sont solubles car ils conduisent à des équations polynomiales de degré inférieur à 5. Mais le calcul serait ardu.
Dans le cas c quelconque, il n'est pas étonnant que vous n'ayez pas trouvé de solution explicite. En effet, on doit en rester à l'expression des solutions sous forme d'équation implicite, c'est à dire (x-ct)=fonction de u, sans pouvoir exprimer explicitement la fonction réciproque u=fonction de (x-ct).
On comprend mieux tout ceci si l'on résout l'équation aux dérivées partielles de façon la plus générale. Mais cela nécessite de connaître une méthode avancée, par exemple la "méthode des caractéristiques": Voir les deux pages jointes.
Solution generale.JPGSolutions particulieres.JPG

[invite27a9be17]

Merci beaucoup de votre aide précieuse.