Integrales élliptiques.

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Soit , où : sont trois paramètres.
Soit un chemin dans le plan complexe qui relie deux racines de et .
Comment montrer que :



Merci d'avance.
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[0577]

Bonjour,

La première formule résulte du calcul de dy. Puisque y^2=p(x), on a 2ydy=(p'(x))dx. On en déduit dy=q(x)/y où q(x) est un polynôme en x de degré 2 explicite. Puisque l'intégrale de dy sur le chemin \delta est nulle, on en déduit une relation entre les intégrales de x^2dx/y, xdx/y, dx/y, qui est exactement la première formule.

Pour comprendre pourquoi ça marche: l'équation y^2=p(x) définie une courbe elliptique E. La fonction x est méromorphe sur E avec pour seule singularité un pôle d'ordre 2 à l'infini et la fonction y est méromorphe sur E avec pour seule singularité un pôle d'ordre 3 à l'infini. On en déduit que dx/y est holomorphe sur E, que xdx/y a un pôle d'ordre 2 à l'infini, et que x^2dx/y a un pôle d'ordre 4 à l'infini. Pour obtenir une relation entre les intégrales sur \delta de ces 1-formes, il faut obtenir une combinaison de ces 1-formes qui soit exacte i.e. de la forme df pour une fonction f. Puisque df a un pôle d'ordre 4 à l'infini, on cherche f avec un pôle d'ordre 3 à l'infini et f=y convient.

On peut dériver la seconde formule et plus généralement une formule analogue pour x^k dx/y pour tout k \geq 2: il suffit de procéder par récurrence et de soustraire à chaque étape df où f est une fonction avec la structure polaire correcte à l'infini. Le fait que dx/y et xdx/y forment une base de l'espace des 1-formes méromorphes sur E modulo différentielles de fonctions méromorphes, i.e. ce qu'on a essentiellement prouvé ci-dessus, est un résultat classique et fondamental de la théorie des courbes elliptiques.

[invitecbade190]

Merci pour toutes ces précisions 0577.