Formes différentielles, intégrales curvilignes et intégrales multiples

[invitef0cd3d2e]

Bonjour,

J'ai du mal à voir les liens ou même à comprendre ces différentes notions...
J'aimerai simplement comprendre ces notions, autrement que part des formules.

Par exemple, pour raisonner avec des fonctions à deux variables:
L'intégrale double représente le volume sous une surface il me semble. Mais on ne peut pas trouver de primitive de la fonction à deux variable car cette notion n'existe pas, c'est ça?
Par contre, j'ai du mal à me représenter l'intégrale curviligne. Peut-on voir ça comme l'aire entre la courbe paramétrée et l'image de cette courbe par la "fonction" (= la forme différentielle ? ) à intégrer? Mais dans ce cas la, qu'en est-il de l'intégrale curviligne d'un champ de vecteur ? Et si on intègre la forme différentielle, si celle çi est exacte, on cherche en quelques sortes la primitive de celle-çi non .. ?

C'est assez flou (et ça se voit) pour moi, aussi, si quelqu'un aurait la gentillesse de m'expliquer, ce serait génial!

Merci encore!

Raganof
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[gg0]

Bonjour.

Une intégrale correspond au cumul continu d'une quantité. Si cette quantité dépend de deux variables, on a une intégrale double.
De même, l'intégrale curviligne correspond au cumul d'une quantité définie en général, mais qu'on cumule le long d'un e trajectoire.

L'illustration des intégrales par des surface, des volumes, est une façon de saisir comment on cumule pour des cas simples, mais devient une gêne à la compréhension quand on essaie de la retrouver pour des cas plus généraux. Donc il vaut mieux voir comment fonctionne l'objet intégrale (double, triple, curviligne, ...), donc les formules et de le faire fonctionner, puis les applications en physique ou autres.

Donc arrête de chercher des "interprétations" qui n'en sont pas, et applique les règles. On comprend généralement en calculant, ou plus exactement on s'habitue.

Cordialement.

[invite5805c432]

tu vois bien que associer intégrales et primitives est plutôt délicat à manipuler. Tu dois revenir aux bases.

Une l'intégrale d'une fonction constante par paliers, sur R est: la somme de la hauteur du palier x largeur du palier.

En 2 dimension, l'intégrale d'une fonction constante sur des pavés, est la somme [ l'aire des pavé x valeur de la fonction sur ce pavé]
ceci tu l'as appelé volume sous la surface, il est en fait indépendant des variables (x,y) que tu choisis pour calculer cette intégrale.

L'intégrale curviligne est similaire. L'intégrale d'une fonction constante par paliers le long d'une courbe reliant A(x_0, y_0) et B(x_1, y_1), c'est la somme [valeur du palier x longueur de la portion de la courbe ou cette fonction est constante].
Par exemple, l intégrale curviligne le long d'une courbe entre A et B d'une fonction 1, vaut la longueur de la courbe entre A et B [qui est différente de ||AB||].
Cette définition est intrinsèque à la courbe, c'est à dire ne dépend pas du paramètre que tu utilises pour parcourir la courbe.

Le cas de fonctions qui ne sont pas constantes par paliers, se déduit à ton niveau, par des passages à la limite.

Le fait que la dérivée de l'intégrale est liée au calcul de primitive dans le cas 1 dimension, n'est valable que si la fonction que tu intègres est continue. Et tu peux le voir facilement en faisant les encadrements nécessaires.
Si elle n'est pas continue, par exemple si elle a des limites à droite d'un point, et une limite à gauche qui sont différentes, alors tu obtient des dérivées à gauche et à droite.

Le résultat, genre Théorème de dérivation de lebesgues, ou ceci reste vrai "presque partout" sous condition que la fonction est L^1_loc, est nettement plus compliqué à démontrer.

[invitef0cd3d2e]

Bonsoir,

Merci pour vos réponses, elles sont très utiles.

Je n'ai pas trop de réponses par rapport au message de gg0. Je recherche juste une façon d’interpréter certaines formules mathématiques, et aussi le lien entre ces dernières. Si ces deux objets (intégrales cuvilignes / intégrales multiples) ont un nom similaire, c'est, je pense, qu'il y a un lien. Et c'est justement ce genre de choses que je veux savoir, en plus de ce que représente ces objets...

Pour répondre à untruc: j'aime assez l'explication que du donne et c'est un peu ce que je pensais au départ. Par contre, pour aller un peu plus loin: dans le cas d'intégrale cuviligne, on intègre des formes différentielles c'est bien ça ? D'un autre coté, on calcule la circulation d'un champ de vecteur ... Pour moi, une forme différentielle (dans le cas le plus simple) sont des fonctions de type A(x,y)dx + B(x,y)dy. Dans le cas ou elles sont exactes, ce sont des différentielles de fonction. Mais alors comment faire le lien avec la circulation d'un champ de vecteur, au niveau des formules, et si c'est possible, au niveau de l'interprétation géométrique.

Merci encore,

Raganof

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