Intégrales curvilignes

[invite5305b2b0]

Bonjour je lance un appel de detresse lol :j'aimerais trouver quelqu'un qui puisse m'expliquer les intégrations curlignes!
Merci
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[Bleyblue]

Salut,

Tu veux dire quoi par expliquer ?
Si c'est refaire toute la théorie ça va être difficile mais si c'est expliquer comment les calculer et ce que ça représente ça doit être faisable

[invite5305b2b0]

oui c'est comment les calculer et ce que sa represente

[Bleyblue]

Ok

Donc à ma connaissance tu as deux types d'intégrales curvilignes, celles d'un champ de vecteur sur une courbe et celle d'une fonction sur une courbe.

Laquelle des deux explications souhaites-tu ?

(tu m'excuseras mais la je vais dormir donc ce ne sera pas avant demain )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5305b2b0]

je veux bien celle avec une fonction STP oki bonne nuit

[Bleyblue]

Je ne parviens pas à dormir donc je fais ça maintenant :

On prend une courbe C de définie par les équations paramétriques x = x(t), y = y(t) qu'on suppose lisse. Lisse cela veut dire que les fonctions x(t) et y(t) sont dérivables et que le vecteur (x'(t),y'(t)) n'est nul pour aucun t de [a,b]
(Cette condition est nécessaire pour éviter que la courbe soit régulière, c'est a dire sans angles, sans trous, ... qu'elle soit "lisse" quoi )

On prend une fonction

(f peut aussi être définie sur une partie de R² mais cette partie doit contenir la courbe C)

On va définir l'intégrale de la fonction F sur la courbe C, qu'on notera :



où parfois

et si la courbe est fermée (c'est à dire que le point (x(a),y(a)) correspond au point (x(b),y(b)), par exemple un cercle ou une ellipse) alors on note aussi ça :



Cette intégrale calculera l'aire de la "clôture" de base la courbe C (constituées de points (x,y) ) et de hauteur f(x,y).
Il faut faire un beau dessin pour voir à quoi ça ressemble. Tu as ta courbe C dans le plan, tu as le graphe de ta fonction dans R² au dessus du plan et la clôture est l'espèce de surface qui s'étend entre ta courbe et la fonction.

Pour définir l'intégrale curviligne on "découpe la courbe en morceau" et on définit des sommes de Riemann sur cette courbe de manière similaire à ce qu'on a fait pour définir l'intégrale classique. Après maints calculs (cf la théorie) on montre que :



Tu te ramènes donc à une intégrale classique quoi, rien de plus simple (l'intégrale risque en revanche d'être impossible à calculer mais ça on n'y peut rien ...)

Voilà, le seul point délicat c'est de faire le dessin dont j'ai parlé au dessus et et encore ce n'est pas nécessaire pour le calcul de l'intégrale, c'est juste pour te dire ce que ça représente en terme d'aire.

L'intégrale curviligne est donc une jolie généralisation de l'intégrale classique de Riemann, tu remplaces le segment de droite (courbe particulière) par une courbe quelconque.

Note finale : Ces intégrales n'ont pas été inventées pour calculer des aires mais pour résoudre des problèmes de physique (elles sont d'ailleurs très présentes et quasi indispensable en physique une fois que tu as atteint un certains niveau)

Voilà, n'hésite pas si tu as des questions

[invite5305b2b0]

merci beaucoup pour cette explication.je comprend mieux en effet ce que sa represente. la j'ai un exemple dintégrale j'essaie de le faire justement mais je trouve que ça me fait un gros calcul c'est normal?

[Bleyblue]

Ca dépend de ce que tu appels gros calculs

Il se peut que l'intégrale définie sur laquelle tu tombes soit difficile à calculer oui.
Tu peux toujours poster tes calculs si tu veux

[invite5305b2b0]

alors dans mon cours jai une def pour les intégration curviligne jai w(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y).dy parametré par J(t)=(J1(t),J2(t))
et lintégrale curviligne serai
int (P(J(t))*J1'(t)+Q(J(t))*J2'(t) .dt

alors mon culcul c'est

w(x,y)=(x²+y²).dx+(2xy+y).dy
parametre par
J(t)=(Racine(1+3t),t^3) avec 0<=t<=1

[Bleyblue]

Super

Mais ça c'est justement l'intégrale d'un champ de vecteur F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) sur une courbe C (c'est à dire pas du tout ce que j'ai expliqué au dessus)

La il faut juste savoir que si F est ton champ de vecteurs défini sur ta courbe lisse C (x(t),y(t)) pour t variant de a à b alors :



ou le . désigne le produit scalaire.

Donc si je prends une exemple :

F(x,y) = (y + 1,x)
C définie par (t,cos(t)) pour t allant de 0 à 1

ça donne :

[invite57a1e779]

M'enfin, la forme est exacte. Il y a un autre topic sur le sujet, pas bien loin, il suffit de le chercher.
Je suis désolé, mais je ne sais pas mettre, dans cette réponse, une balise avec un lien vers une réponse sur un autre fil.

[Bleyblue]

Je regrète mais je ne sais pas ce que c'est qu'une "forme exacte"

[invite57a1e779]

Ça veut dire que , avec ici par exemple.