Besoin d'aide pour un TD d'algèbre (anneaux, modules, forme normal de Smith...)

[invite66d75f15]

Bonjour,
Il fut un temps ou l'algèbre était mon ami, le temps des groupes et des espaces vectoriels....

Mais voilà, en reprise d'étude, après deux ans sans faire de maths, mes amis ont laissé place à des anneaux et des modules, des idéaux, des distingués....Ce qui fait une bonne masse de nouveautés à assimiler, rapidement qui plus est. Et je ne peux pas, hélàs, compter sur les TD pour m'y aider; nous n'y faisons pas d'exemples d'application du cours, juste des démonstrations utilisant le cours.
C'est compliqué, mais j'essaye de m'accrocher.

Or, il s'avère que cette fois nous avons quelques exercices d'application! Donc j'essaye tant bien que mal de faire le TD...mais j'aurais besoin de votre soutient éclairé
J'ai mis le sujet en pièce jointe. Je voudrais surtout de l'aide pour l'exo 4 et la dernière question de l'exo 5 (les seuls, avec l'exo 3, qui ne me semblent pas totalement abstraits....). Si vous avez le temps pour les autres, tant mieux, mais il y a beaucoup de choses et j'ai vraiment beaucoup de mal alors je me concentre d'abord sur ce que j'arrive un peu à comprendre.

Pour l'exo 1, très franchement j'ai vite abandonné. Rien que le temps qu'il m'aura fallu pour comprendre la question 1.... Bref, j'ai pensé que pour montrer que c'est isomorphe, il faut montrer qu'il y a un isomorphisme entre k[Z,T] et k[z,t]=R. Comme A est un quotient, j'ai pensé utiliser le 1er théorème d'isomorphisme en créant un morphisme de noyau (XY-ZT), mais quand bien même j'en aurais trouvé un ça m'aurait fait un morphisme de A dans k[Z,T] et pas de R dans k[Z,T]. Alors je me suis dit que je pourrais d'abord chercher un isomorphisme de K[Z,T] dans A, puis montrer que l'image de ce morphisme n'est pas A tout entier mais seulement R. Et je n'ai pas réussi.

Le 2 me semblait plus sympa, alors je me suis lancée dedans avec espoir.
1. J'ai écrit:
2. Dans Q, je ne vois pas la différence, mais dans C j'ai décomposé X²+1:
3. Là j'ai mis que M n'est pas intègre car or et
Ensuite, dire qu'il n'est pas réduit revient à dire que son Nilradical n'est pas réduit à 0, donc qu'il existe des éléments P de M autres que 0 tels que pour un n. Et...j'en ai pas trouvés.

4. Là, je bloque totalement. J'ai les définitions de toutes ces choses-là, mais comment le démontrer?
Le Z-module M est de type fini ssi il est engendré par un nombre fini d'éléments: il faudrait donc que je trouve ses générateurs, ou que je montre qu'il y en a une infinité. Mais ce doivent être des éléments de Z, non? Sinon je ne vois pas la différence avec la question suivante, et si oui alors il n'y en a pas, parce qu'on a besoin de X pour générer M et X n'est pas dans Z...

M est libre s'il contient une famille libre. Là, j'aimerais bien qu'on m'explique la différence entre une famille libre dans le cas d'un module ou d'un anneau et dans le cas d'un espace vectoriel, parce qu'on m'a dit que ce n'était pas pareil mais en pratique, on montre à chaque fois que si une combinaison linéaire de la famille vaut 0, alors les coefficients valent 0, ce qui est identique aux espaces vectoriels.
Bref, il faudrait que je lui trouve une famille libre et je ne sais pas comment commencer.

M est de torsion s'il existe un a non nul dans Z tel que, pour tout x dans M, ax=0. Encore une fois, comme le a est dans Z je vois pas comment ce serait possible, donc je dirais que non, mais de là à le démontrer...

Annz(M) c'est l'ensemble des a dans Z tels que ax=0 pour tout x dans M. Donc, vu ce que j'ai dit juste avant, je dirais que Annz(M)={0}. Mais encore une fois, on est loin d'une démonstration.

5. Tout ce qui change avec ce Z[X], c'est que je devrais peut-être être en mesure de trouver des générateurs de M. Je dirais que (1, X) génère M, mais c'est à peu près tout ce que je suis capable de faire...
Et, bien sûr, M est de torsion parce que pour tout P dans M. Maintenant, l'ensemble des Annulateurs de M contient 0, et tous ses multiples, ce qui fait du monde...mais je ne sais pas comment justifier ça, ni le fait qu'il n'y en ai pas d'autre.

6. Là ça n'a plus rien à voir avec les questions précédentes (enfin, ça a sûrement un rapport mais je ne le vois pas). J'ai relu le cours, tout ce qu'on a sur les composantes primaires c'est: " est appelé composante p-primaire de M", où est l'ensemble des x dans M tels que pour un entier n positif.
Avec ça...je ne vois pas comment répondre à la question.


L'exercice 3 est l'exercice d'application dont je parlais. Le deuxième que j'arrive à faire depuis le début de l'année. Prions pour qu'ils soit à l'exam (et encore, pas sûre que je sache le refaire sans le cours....). Je vous épargne les lignes de calculs, ça je suis sûre que c'est bon.

Pour l'exercice 4, j'ai à peu près compris mais j'aurais encore besoin d'explications:
J'ai compris qu'il fallait mettre la matrice sous forme normale de Smith. Mais là, soudainement, le prof a déclaré qu'on pouvait multiplier par des matrices différentes que celles qu'on avait utilisé précédemment parce que, je cite, "on a pas besoin de la S-équivalence". La S-équivalence, c'est quand on a M'=PMQ avec P et Q respectivement dans SLn et SLp (donc de det 1)
Ma question est: Pourquoi?? Quand est-ce qu'on a besoin de la S-équivalence, ou de la E-équivalence (encore plus forte, P et Q sont des matrices élémentaires), ou de la "simple" équivalence (où P et Q sont juste carrées inversibles)?

Enfin bref, j'avais commencé avec la S-équivalence, j'ai donc continué ainsi. L'ennui c'est que, du coup, je n'avais pas exactement la même chose que le prof, donc plus difficile de vérifier si c'était bon, mais je pense que oui (j'ai comparé avec une amie qui avait fait pareil, et au final le déterminant de la matrice d'arrivée était bien le même que celui de la matrice de départ - alors que pour le prof il y avait un changement de signe)
Donc, après ces calculs, j'arrive à une matrice diagonale sous forme normale de Smith, puis on fait le bilan de toutes les "multiplications à droite" et "multiplications à gauche" faites durant ces calculs pour trouver les matrices P et Q telles que D=PMQ.

C'est là que je commence à ne plus comprendre. D'abord, le prof a noté , je ne comprends pas pourquoi. Il a donc du faire un calcul supplémentaire pour retrouver Q. Ensuite il a dit qu'on s'en fiche de P, je ne sais pas non plus pourquoi. Et enfin il en a déduit que la matrice Q obtenue forme la base adaptée recherchée. Je sais qu'il a utilisé le théorème de la base adaptée, mais je n'ai pas bien compris comment. Voici ce qu'on a écrit:


f' est une base pour Z² adaptée à K.
Pas la moindre idée de ce que sont les bases e, e', et f. Enfin, j'ai pensé que e et e' étaient peut-être des bases de Z², donc sans doute (1,0) et (0,1), mais f? et s?


Enfin, on en arrive à l'exercice 5. J'ai zappé les trois premières questions, je n'ai pas la moindre idée de comment faire. En revanche, la dernière, je sais vaguement comment m'y prendre: Je décompose en facteurs premiers, ce qui me donne:
Z/2Z x Z/5Z x Z/7Z x Z/7Z x Z/2Z x Z/2Z x Z/7Z x Z/3Z x Z/7Z x Z/7Z
Et ensuite on regroupe les termes de sorte à obtenir la forme voulue (Z/d1Z x ... x Z/dnZ avec d1|D2|...|dn)
Au début, j'ai regroupé 2,7; 2,7,7 ; 2,3,5,7,7, ce qui donne: Z/14Z x Z/96Z x Z/1470Z
Mais il me semble que quand on regroupe il faut que les nombres regroupés soient premiers entre eux, ce qui n'est pas le cas de 7 et 7....
donc ensuite j'ai fait: Z/7Z x Z/7Z x Z/14Z x Z/14Z x Z/210Z
Mais là j'ai plusieurs fois des groupes identiques, et je ne sais pas si c'est autorisé.


Merci d'avance pour le temps que vous me consacrerez.
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[invite66d75f15]

Help?

Je voudrais surtout comprendre l'exercice 4. On veut une base de Z² adaptée au sous-module engendré par les vecteurs (3,-6) et (4,2). Donc on met la matrice sous forme normale de Smith. On obtient deux matrices P et Q et la matrice M' sous forme normale de Smith: M'=PMQ.

Comment, avec ça, obtient-on la base adaptée souhaitée??
J'ai un DS dans quelques jours, j'aimerais bien avoir compris au moins ça....