fonction linéaire

**aouaouisami** · 19/11/2016, 16h07

Bonjour à tous

J'ai une petite question:

Soit $\text{[math]}$ un espace vectoriel de dimension finie et $\text{[math]}$ une suite de convexes de $\text{[math]}$ . On suppose que pour tout $\text{[math]}$ il existe une forme linéaire $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Si on pose $\text{[math]}$ , on veut montrer qu'il existe une forme linéaire $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Merci d'avance

**Dinozzo13** · 19/11/2016, 18h16

Bonjour, ce n'est pas vraiment une question... , on dirait plutôt un exercice mais bon, passons. Que veux-tu faire du coup ? Faire l'exercice ? Si tel est le cas, quelles pistes as-tu tenté ?

**aouaouisami** · 19/11/2016, 18h41

Merci pour l'interet

En fait, j'ai démontré ce résultat en utilisant des arguments topologiques: en fait, pour $\text{[math]}$ , on peut poser $\text{[math]}$ comme l'ensemble des fonctions $\text{[math]}$ de norme 1 et telles que $\text{[math]}$
En utilisant la compacité de la boule unité fermée dans le dual $\text{[math]}$ , on peut montrer que l'intersection des $\text{[math]}$ n'est pas vide et par suite conclure.

Mais, moi je cherche la possibilité de construire $\text{[math]}$ à partit des $\text{[math]}$ .

On peut trouver des fonctions convexes vérifiant la positivité sur $\text{[math]}$ (exemple $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ désigne la projection sur le convexe $\text{[math]}$ ) mais il manque la linéarité!

Merci encore.

fonction linéaire