fonction linéaire

[invite0fd5e1c6]

bonjour,

si j'ai une fonction Rn[X]--->Rⁿ⁺¹, P--->(P(0),P(1)...P(n)), comment montrer c'est une fonction linéaire?

j'ai essayé montrer choses comme af(x)+bf(y)=f(ax+by) mais j'ai pas trouvé ...

merci beaucoup
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[invite9617f995]

Bonjour,

Il faut bien voir qu'ici la variable, c'est le polynôme. Or pour tout réel t, pour tous scalaires a et b et pour tous polynômes P et Q, (aP+bQ)(t)=aP(t)+bQ(t), ce qui te donne directement la linéarité de ton application.

Silk

[invite0fd5e1c6]

donc je n'ai besoin de montrer c'est linéaire c'est ça ?

[invite9617f995]

Si, il faut que tu écrives exactement ce que vaut f(aP+bQ) et que tu mettes en évidence que c'est af(P)+bf(Q).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a963149]

la variable n'est pas un réel mais un polynome (c'est très important de la comprendre ça !)

ciao

[invite0fd5e1c6]

merci j'ai compris!

af(P)=(aP(0),aP(1)...aP(n))
bf(Q)=(bQ(0),bQ(1)...bQ(n))
af(P)+bf(Q)=(aP(0)+bQ(0),aP(1) +bQ(1)...aP(n)+bQ(n))
f(aP)+f(bQ)=(aP(0)+bQ(0),aP(1) +bQ(1)...aP(n)+bQ(n))
donc f(aP)+f(bQ)=af(P)+bf(Q)

c'est correct ? :]

[invite00970985]

Presque, il faut que tu montres que : f(aP + bQ)= af(P) + bf(Q)

Et tes lignes :
"af(P)+bf(Q)=(aP(0)+bQ(0),aP(1 ) +bQ(1)...aP(n)+bQ(n))"
"f(aP)+f(bQ)=(aP(0)+bQ(0),aP(1 ) +bQ(1)...aP(n)+bQ(n))"

Sans être fausses ne sont pas "directes" (en fait tu utilises déjà que f est linéaire alors que c'est ce que tu veux montrer). Ce qu'on a plus envie de mettre à gauche du "=" serait "f(aP + bQ)".

Ici, d'après tes 2 premières lignes, tu as plutôt :
af(P) + bf(Q) =(aP(0),aP(1)...aP(n)) + (bQ(0),bQ(1)...bQ(n))

[invite0fd5e1c6]

Presque, il faut que tu montres que : f(aP + bQ)= af(P) + bf(Q)

Et tes lignes :
"af(P)+bf(Q)=(aP(0)+bQ(0),aP(1 ) +bQ(1)...aP(n)+bQ(n))"
"f(aP)+f(bQ)=(aP(0)+bQ(0),aP(1 ) +bQ(1)...aP(n)+bQ(n))"

Sans être fausses ne sont pas "directes" (en fait tu utilises déjà que f est linéaire alors que c'est ce que tu veux montrer). Ce qu'on a plus envie de mettre à gauche du "=" serait "f(aP + bQ)".

Ici, d'après tes 2 premières lignes, tu as plutôt :
af(P) + bf(Q) =(aP(0),aP(1)...aP(n)) + (bQ(0),bQ(1)...bQ(n))

Merci camarade!