convergence suite 1-1/2+1/3...

[invited3a75eab]

Bonjour,
J'ai un exercice où je dois trouver si la suite suivante converge :

Dans l'énoncé il me disent de faire la formule de Taylor-Lagrange
à l'ordre n sur [0,1] de la fonction ln(1+x) : je vois bien que les coefficient du DL sont les même que ma suite(x-(1/2)x²...)mais je ne vois pas comment ça peut m'aider à démontrer la convergence vers 0 de ma suite?
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[invitea0db811c]

Bonsoir,

La série converge (fait une recherche sur "série alternée" sur wiki ).
Il reste juste à voir la valeur prise par la série, c'est là qu'intervient le DL.

Par contre je ne sais pas si c'est le bon cheminement, en effet la but est peut-être de trouver la convergence sans utiliser le critère sur les séries alternées, et dans ce cas je ne sais pas...

[Tiky]

Tu remarques que

Si tu appliques Taylor-Lagrange à la fonction entre et à l'ordre n, tu obtiens :
avec

Et donc

Le terme de droite tend vers 0 puisque . On a bien :

[invite57a1e779]

Le terme de droite tend vers 0 puisque .

C'est vraiment vrai ? Même si ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

C'est vraiment vrai ? Même si ?

Oui effectivement, ça pose problème :/. Je vois bien comment faire en développant en série entière, mais ce n'est pas le but de l'exercice.

[invite57a1e779]

Il me semble que le reste sous forme d'intégrale serait plus pratique pour obtenir une majoration efficace.

[Tiky]

Merci pour la correction God's Breath.

[invited3a75eab]

merci beaucoup, vos réponses m'ont beaucoup aidé.