Convergence suite un=(1+1/n)^n

[invite0fbd3b56]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice dont le but est de montrer que la suite de terme général
un=(1+1/n)^n
converge vers le nombre e (exp(1)).

Dans cet exercice, la méthode est d'encadrer e puis en utilisant le théorème des gendarmes aboutir à la conclusion esposée plus haut.

Le souci, c'est que je dois trouver 2 autres méthodes pour prouver la convergence de (un) vers e. J'en ai trouvé une qui consiste à écrire
(1+1/n)^n=exp(n.ln (1+1/n)
Pourriez-vous me donner d'autres façons de montrer que un converge vers e?
J'ai pensé aux théorèmes des suites adjacentes puisque
(1+1/n)^n < e <(1+1/n)^(n+1) mis le hic c'est que le théoorème ne donne pas la valeur de la limite!

Ensuite je dois parler de la vitessse de convergence de la suite (un), je trouve que celle-ci est lente puisque (un+1 - e)/(un - e) tend vers 1 en +inf mais je n'arrive pas à le prouver par le calcul, avez-vous des pistes à me donner?

Enfin, dans la continuité de cet exercice, je dois construire une suite qui tende vers exp(x), quel que soit x. Je trouve un(x)=(1+x/n)^n mais là encore je ne sais pas comment le justifier!

Merci d'avance de votre aide qui me sera très précieuse je n'en doute pas.
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[Bruno]

Le souci, c'est que je dois trouver 2 autres méthodes pour prouver la convergence de (un) vers e. J'en ai trouvé une qui consiste à écrire
(1+1/n)^n=exp(n.ln (1+1/n)
Pourriez-vous me donner d'autres façons de montrer que un converge vers e?

As-tu essayé la définition ? Càd trouver une fonction telle que

[invite0fbd3b56]

pourriez-vous m'en dire plus sur la marche à suivre pour trouver ladite fonction?

[hhh86]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice dont le but est de montrer que la suite de terme général
un=(1+1/n)^n
converge vers le nombre e (exp(1)).

Dans cet exercice, la méthode est d'encadrer e puis en utilisant le théorème des gendarmes aboutir à la conclusion esposée plus haut.

Le souci, c'est que je dois trouver 2 autres méthodes pour prouver la convergence de (un) vers e. J'en ai trouvé une qui consiste à écrire
(1+1/n)^n=exp(n.ln (1+1/n)
Pourriez-vous me donner d'autres façons de montrer que un converge vers e?
J'ai pensé aux théorèmes des suites adjacentes puisque
(1+1/n)^n < e <(1+1/n)^(n+1) mis le hic c'est que le théoorème ne donne pas la valeur de la limite!

Ensuite je dois parler de la vitessse de convergence de la suite (un), je trouve que celle-ci est lente puisque (un+1 - e)/(un - e) tend vers 1 en +inf mais je n'arrive pas à le prouver par le calcul, avez-vous des pistes à me donner?

Enfin, dans la continuité de cet exercice, je dois construire une suite qui tende vers exp(x), quel que soit x. Je trouve un(x)=(1+x/n)^n mais là encore je ne sais pas comment le justifier!

Merci d'avance de votre aide qui me sera très précieuse je n'en doute pas.

Méthode d'euler, ça fonction.
Il te suffit d'étudier la fonction définie par f=f' et f(0)=1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Méthode d'euler, ça fonction.
Il te suffit d'étudier la fonction définie par f=f' et f(0)=1.

Au moins ça pourra aussi t'aider pour la dernière question

[invite49d0b428]

Bonjour à tous

Une des question de cet exercice est: Montrer que l'inégalité:

équivaut à :

J'ai commencé et je me retrouve bloqué... voici mon raisonnement:





Pourriez vous m'aider svp

[invite49d0b428]

Je rappelle que Un=(1+(1/n))^n

Merci d'avance.