Fonctions holomorphes

[invite74d6d3ec]

Salut,

J'ai une série de questions (un peu basiques je pense..) concernant ce chapitre qui me trouble:

Que signifie la phrase: l'application admet une limite .

Je ne sais définir la notion de limite que si la variable est réelle, (la fonction peut éventuellement être à valeurs vectorielles.)
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[invitea0db811c]

bonsoir,

Ceci signifie que l'application que vous décrivez (appelons là g) admet l comme limite en z_0. C'est à dire que pour toute suite (z_n) tendant vers z_0, la suite g(z_n) converge vers "l".

La notion de convergence se définit à partir de la topologie des différents espaces concerné, et comme ici on est dans le cadre des fonctions holomorphe, cela revient à la définition précédente. Mais il y a d'autres définitions équivalentes et celle ci me parait la plus intuitive.

[invite74d6d3ec]

Re,

J'avoue que ce n'est pas très intuitif pour moi.

Pourquoi par exemple, l'application n'admet pas de limite en ?

Merci pour ta réponse.

[invitea0db811c]

et sont deux suites qui tendent vers 0, or l'image par ta fonction de la première est une suite qui tend vers 1, et l'image de l'autre tend vers -1 ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

Je ne sais définir la notion de limite que si la variable est réelle, (la fonction peut éventuellement être à valeurs vectorielles.)

La notion de limite est quelque chose de très générale. Une formulation possible est : la fonction g tend vers l lorsque z tend vers x si pour tout voisinage W de l il existe un voisinage V de x tel que g(V) soit inclus dans W. Dans un espace métrique, il possible de remplacer "voisinage de x/l" par "boule centrée en x/l". Une manière équivalente (mais souvent plus maniable) de traiter la continuité est le critère séquentiel donné par thepasboss.

[invite14e03d2a]

Je ne sais définir la notion de limite que si la variable est réelle, (la fonction peut éventuellement être à valeurs vectorielles.)

Dans le cas des fonctions de variable complexe et à valeurs complexes, la définition est la même que dans le cas réelle (avec les epsilon,...). La seule différence, mais elle est minime, c'est que |.| désigne le module est non la valeur absolue.

C'est un peu étrange d'étudier les fonctions holomorphes sans avoir fait de topologie. La connexité et la compacité y joue un rôle important.