je ne comprends pas une démonstration

[invite69d38f86]

Bonjour
dans ce lien Styeraffirme que

(equation 11) si t > 0
Il renvoie au premier appendice pour la démonstration.
Je vous concède bien volontiers que tout çà n'a l'air bien engageant!

Pourriez vous simplement me dire pourquoi dans l'appendice il part de l'exponentielle d'un réel?
Y a t il du prolongement analytique la dessous?
Je n'ai pas de problème sur la compréhension des calculs de l'appendice simplement je ne vois pas le rapport avec l'égalité à démontrer.
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[acx01b]

salut, c'est quoi ?

[invite0a963149]

une densité de probabilité non ?

[invite69d38f86]

non une integrale triple sur p1 p2 p3 (des impulsions)

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

mais ça fait référence à une mesure ? ou on intègre sur tout entier ?

et c'est quoi ?

[breukin]

et sont des grandeurs vectorielles (dont les dimensions physiques sont inverses pour que leur produit scalaire soit sans dimension afin qu'on puisse en faire l'exponentielle).
J'utiliserait un système de coordonnées cylindriques pour avoir

Mais j'ai des doutes sur la convergence. N'y a-t-il pas un en trop dans une exponentielle ?

[invite69d38f86]

p et x sont des variables spatiales conjuguées
par transformation de Fourier. et t est le temps.
On cherche à calculer une transformée de Fourier d'une fontion complexe en |p| (avec présence de t>0).
Styer renvoie pour trouver le résultat à un calcul de TF d'une fonction réelle de |p|.
Je ne vois pas le rapport avec la démonstration annoncée.
On cherche l'inverse d'une différence de carrés et il nous offre l'inverse d'une somme de carrés de variables conjuguées.
Dans l'apdendice, il fait un calcul en coordonnées cylindriques sans problème particulier.

[invite986312212]

j'ai jeté un coup d'oeil au document. Le produit scalaire est bizarre, avec un signe "-", comme s'il y avait du "i" caché quelque part.

[invite69d38f86]

C'est pourquoi je demandais s'il n'y avait pas du prolongement analytique dans l'air.
La réponse serait elle du coté des fonctions d'une variable complexes?

[invite986312212]

oui apparemment p est complexe, du coup p.x est juste le produit de deux nombres complexes et pas un produit scalaire. Tu as bien vu qu'il faisait une intégrale sur un contour du plan complexe. A mon avis tu devrais poster en physique, tu aurais sans doute plus de résultats.

[invite1e1a1a86]

Il s'agit justement de physique puisque le propagateur des particules de masse où

tu cherches à calculer:

avec les notations 3-dimensionnelles habituelles.

Il faut passer en coordonnées polaires avec l'axe z suivant (qui est une constante ici).
L'intégrale sur les deux angles se fait facilement (celle sur est de la forme ).

ne reste que celle sur (de 0 à l'infini) où on utilise les résidus.

Remarque: (et ) n'était pas un complexe avant. On integrait seulement sur la demi-droite réelle qu'on peut facilement passer à en utilisant les parités et on refermera le contour par le haut ou par le bas suivant le signe de (sur le prolongement analytique certes..)


Tout bon cours de théorie quantique de champs fait ceci...peut-être (et sûrement) un peu mieux expliqué...

[invite69d38f86]

Peux tu me citer un cours ou apparait la valeur de ce propagateur en i/(x²- t²)?

[invite1e1a1a86]

n'importe quel poly (ou presque) de TQC.

as-tu essayer de faire ce que je dis juste au dessus? ou bloques tu?

Je corrige un de tes messages ci-dessus:
n'est pas dans ce cas la norme usuelle du vecteur mais l'énergie de la particule reliée par:


EDIT: Par contre, ta formule n'est vraie que pour une masse nulle justement... Je n'avais pas vu que tu te plaçais dans ces conditions (et donc oui)

RQ: cette discussion a peut-être plus sa place en physique.

[invite1e1a1a86]

Je dois faire une erreur...


dans le cas m=0
on passe en sphérique, l'intégration sur est triviale



l'intégrale sur se fait facilement. on trouve:

qui vaut l'infini.

[invite69d38f86]

Il s'agit ici du propagateur pour une particule sans spin de masse nulle.
J'ai mis ce fil en mathématiques car j'ai un lien que tout le monde peux lire.
il donne la valeur sous forme intégrale triple (equation 11) je n'ai pas de problème jusque là. La ligne dessous il fournit une expression non intégrale et renvoie à l'appendice.
Je comprends les details de l'appendice mais je ne vois pas le rapport avec l'équation 11.
Bien sur ca parle de physique, mais c'est surtout qu'il y a un raisonnement qui m'échappe.

L'espression simple est donnée dans lumiere et matiere une histoire etrange de Feynman

[invite1e1a1a86]

qu'est ce qui te gêne dans l'appendice?

il s'agit de la transformée de fourier de la lorentzienne qu'on appele en maths la loi de Cauchy.
http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentzian_function

c'est exactement le calcul que j'ai fait ci-dessus (eq 27) en prenant complexe.

L'appendice montre exactement comment finir le calcul que j'ai fait ci-dessus. il y a bien un problème d'infini dans le cas où on utilise le calcul quand même... mais il est reglé si on fait les calculs correctement (en particulier, il manque un dans ton propagateur).


autre remarque: je me suis peut-être avancé, ce calcul n'est pas fait dans tout les cours de TQC. En particulier car il est beaucoup plus facile d'interpréter le propagateur de Feynman non-intégré (dans l'espace des impulsions) et car justement, sa tranformée de fourier rend les calculs de TQC (par les règles de Feynman) "simple" (au sens large...)

[invite69d38f86]

merci d'avoir lu l'appendice.Maintenant peux tu me dire comment utiliser ce résultat (30)
pour obtenir l'expression annoncée (12).

[invite1e1a1a86]

(désolé du retard)

On remarque que l'équation (27) est exactement l'équation que j'ai écris ci-dessus avec et .

On trouve ainsi le résultat en
(le préfacteur est aussi correct...je te laisse le retrouver).

Remarque:
Il s'agit ici d'une Rotation de Wick. Dans les variables (et p associé), les intégrales ne sont pas très bien définies et il faut ajouter un à la masse pour "choisir" le bon propagateur (causal etc...). On peut expliquer théoriquement d'où vient ce .
Néanmoins, faire une rotation de Wick, qui revient à intégrer la coordonnée 0 sur l'axe est possible et remplace la métrique (-,+,+,+) par la métrique euclidienne habituelle (+,+,+,+). Cela ne change l'intégrale que par un facteur .

[invite69d38f86]

Merci beaucoup pour la réponse.
Tu comprends pourquoi j'ai posté en maths!
Dans le premier post je posais la question du
prolongement analytique.
Le discours habituel est "faire la rotation de Wick, effectuer tous les calculs puis revenir à la métrique de départ par rotation de Wick inverse sur les résultats obtenus.
Comment savoir sur une expression si l'on peut utiliser cette procédure?
J'aimerais avoir l'avis d'un matheux pur et dur.
fonctions d'une variable complexe?

[invite69d38f86]

En attendant l'arrivée d'un matheux:
Les calculs en coordonnées cylindriques sont les memes pour les x ou pour les k. Ca ne me pose pas de pb de changer leur role c'est un changement de nom pour la variable.
k0 a pour dimension l'inverse d'une longueur.
comment meme par rotation de wick l'associer
à un temps?

[invite1e1a1a86]

Je ne comprend pas ce qui te gêne dans ce cas.
Oui, il y a un prolongement analytique derrière. On ne s'en cache pas, la rotation de Wick c'est juste changé le domaine d'intégration de à . Pour que ça marche, il faut qu'on puisse raccorder les deux bons avec des contributions nulles (la fonction décroît suffisament vite) en enlaçant aucun pole.

pour la dimension, c=1 impose que temps=longueur
X a la dimension d'une longueur (t et )

Mais il n'y a pas de problème, on utilise la formule (27) certes pour mais aussi . C'est juste que l'auteur a préféré utilisé k et r ici pour retrouver le potentiel de Yukawa. mais on utilise le résultat en inversant les deux (in intègre sur P dans notre cas, sur R dans le sien) mais c'est la même chose (transformée de Fourier inverse <-> transformée de Fourier)

Remarque encore une fois: Un matheux ne se préoccupera pas de la dimension de K...un physicien oui (mais ici on utilise juste une égalité mathématique)

[invite69d38f86]

Merci SchliesseB
Tu m'as mis sur la bonne voie avec la rotation de Wick.
Il y a même mieux. le propagateur

est un invariant relativiste. On peut donc lui appliquer une rotation de Lorentz ce qui répond à ma question du "peut on?"
Quand j'aurai fini les calculs pour trouver les coefficients je les mettrai en ligne (en physique).

[invite69d38f86]

Merci beaucoup SchliesseB. J'ai enfin compris.
Je résume: on a

qu'on cherche à écrire sous une forme plus simple.
Je vais calculer et je trouve suivant les calculs de l'appendice

Pour trouver le résultat cherché je repasse de it à t pour obtenir

Une petite question. Peut on parler ici réellement de rotation de Wick?
Il me semblait qu'elle concerne la déformation du contour d'intégration dans le plan complexe pour une des variables.
Ici j'ai simplement un prolongement analytique de G.

[invite1e1a1a86]

c'est plus ou moins la même chose.

Lorsque tu calcules (= prolongement analytique), tu fais en même temps le changement (changement de contour).

[invite69d38f86]

Je ne pense pas que ce soit exactement la meme chose car t ne faisant pas partie des variables d'intégration aucun contour ne lui est attribué.

[invite69d38f86]

Sous sa premiere forme (avec un epsilon) G_F(x,t) est une Fonction_de_Green de l'opérateur(D'alembertien). C'est une intégrale de contour.
Comment peut on vérifier que l'expression finale (sans intégrale) est encore la meme fonction de green de ce même D'alembertien?

[invite69d38f86]

Juste apres avoir posté j'ai repensé à la formule de Cauchy (c'est bien vieux pour moi).
Si je prends je dois trouver qqchose comme f(x).
Y a t il un rapport avec mon histoire de fonction de Green?

[invite69d38f86]

Merci encore pour votre aide.
Ca m'a permis de poster en physique le détail des calculs.