Fonctions holomorphes

[Bartolomeo]

Bonjour,

J´aimerai trouver la chose suivante:
si un domaine élémentaire et une fonction holomorphe avec pour tout . Y a t´il moyen de montrer q´une fonction existe, tel que pout tout ?

Comment trouver à partir de là l´ensemble des couples de fonctions holomorphes sur tel que:
pour tout ?

Cordialement.
Bart
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[Bartolomeo]

bon j´ai trouvé la 2ème partie:
A partir de il s´en suit que n´a pas de racine, on en déduit avec une fonction holomorphe sur et . En résolvant les deux égalités en fonction de et on trouve le résultat.

Par contre j´aurait besoin d´aide pour prouver la 1ère partie de la question. A coup de main serait le bienvenu!

[invite4ef352d8]

Salut !

je ne sais pas ce que tu entend par "domaine elementaire" mais la bonne hypothèse est "ouvert simplement connexe".

si f ne s'annule pas, alors la fonction f'/f est défini et admet une primitive holomorphe h qui moralement est donc "log f + C" en ajustant bien la constante on trouve une fonction tel que exp(h)=f !

[Bartolomeo]

Merci!
Effectivement c´est "ouvert simplement connexe" le terme approprié!
Qu´entends tu par ajuster la constante? Pourrait-elle être différente de zéro?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

ba une primitive c'est définie a une constante prés, un log c'est défini à 2ikPi près, donc faut fixer la constante en regardant la valeur en un point pour que ca marche...

l'argument c'est que exp(h) et f ont la la même dérivé logaritmique (f'/f) : pour conclure qu'ils sont égal partout il faut qu'il soit égal en au moins un point... c'est là qu'il faut ajuster la constante de la primitive...